Номер 21, страница 60, часть 1 - гдз по физике 8 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Глава II. Тепловые явления. Параграф 6. Измерение удельной теплоёмкости. Уравнение теплового баланса - номер 21, страница 60.

Условие.

21. Сколько холодной и сколько горячей воды надо смешать, чтобы получить 100 л воды при температуре $36^\circ C$? Температура холодной воды равна $10^\circ C$, а температура горячей воды равна $60^\circ C$.

Решение.

Дано:

Общий объем смеси, $V_{общ} = 100$ л

Температура смеси, $t_{смеси} = 36$ °C

Температура холодной воды, $t_{х} = 10$ °C

Температура горячей воды, $t_{г} = 60$ °C

Перевод в систему СИ:

$V_{общ} = 100 \text{ л} = 100 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.1 \text{ м}^3$

Найти:

Объем холодной воды, $V_х$

Объем горячей воды, $V_г$

Решение:

Для решения задачи составим уравнение теплового баланса. При смешивании горячая вода отдает некоторое количество теплоты, а холодная вода это количество теплоты получает. Будем считать, что теплообмен с окружающей средой и сосудом отсутствует.

Количество теплоты, отданное горячей водой при остывании от температуры $t_г$ до температуры смеси $t_{смеси}$, определяется по формуле:

$Q_{отданное} = c \cdot m_г \cdot (t_г - t_{смеси})$

Количество теплоты, полученное холодной водой при нагревании от температуры $t_х$ до температуры смеси $t_{смеси}$:

$Q_{полученное} = c \cdot m_х \cdot (t_{смеси} - t_х)$

Здесь $\text{c}$ — удельная теплоемкость воды, $m_г$ и $m_х$ — массы горячей и холодной воды.

По закону сохранения энергии (уравнение теплового баланса), отданное тепло равно полученному:

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

$c \cdot m_г \cdot (t_г - t_{смеси}) = c \cdot m_х \cdot (t_{смеси} - t_х)$

Массу воды выразим через ее объем $\text{V}$ и плотность $\rho$ по формуле $m = \rho \cdot V$.

$c \cdot \rho \cdot V_г \cdot (t_г - t_{смеси}) = c \cdot \rho \cdot V_х \cdot (t_{смеси} - t_х)$

Удельная теплоемкость $\text{c}$ и плотность $\rho$ воды одинаковы для горячей и холодной воды (пренебрегая их небольшой зависимостью от температуры), поэтому их можно сократить в обеих частях уравнения:

$V_г \cdot (t_г - t_{смеси}) = V_х \cdot (t_{смеси} - t_х)$

Это первое уравнение. Второе уравнение получим из условия, что общий объем смеси составляет 100 литров:

$V_х + V_г = V_{общ} = 100$ л

Из второго уравнения выразим объем горячей воды $V_г$:

$V_г = 100 - V_х$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(100 - V_х) \cdot (t_г - t_{смеси}) = V_х \cdot (t_{смеси} - t_х)$

Теперь подставим числовые значения температур. Так как в уравнение входят разности температур, можно использовать шкалу Цельсия.

$(100 - V_х) \cdot (60 - 36) = V_х \cdot (36 - 10)$

$(100 - V_х) \cdot 24 = V_х \cdot 26$

Решим это уравнение относительно $V_х$:

$2400 - 24V_х = 26V_х$

$2400 = 26V_х + 24V_х$

$2400 = 50V_х$

$V_х = \frac{2400}{50} = 48$ л

Найден объем холодной воды. Теперь найдем объем горячей воды:

$V_г = 100 - V_х = 100 - 48 = 52$ л

Ответ: необходимо смешать 48 литров холодной воды и 52 литра горячей воды.