Номер 32, страница 87, часть 2 - гдз по физике 8 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава III. Электрические явления. Параграф 19. Применение закона Ома к последовательному соединению проводников - номер 32, страница 87.

Условие.

32. На рисунке 19.10 изображена схема электрической цепи. Когда ключ замыкают в положении 1, амперметр показывает силу тока 1 А. Когда ключ замыкают в положении 2, амперметр показывает силу тока 4 А. Напряжение на источнике тока 12 В. Чему равны сопротивления резисторов?

Рис. 19.10

Решение.

Дано:

Сила тока при положении ключа 1, $I_1 = 1$ А
Сила тока при положении ключа 2, $I_2 = 4$ А
Напряжение на источнике тока, $U = 12$ В

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Сопротивление первого резистора, $R_1$ - ?
Сопротивление второго резистора, $R_2$ - ?

Решение:
Рассмотрим два случая, описанные в задаче. Будем считать источник тока идеальным.

1. Когда ключ замкнут в положении 1, резисторы $R_1$ и $R_2$ соединены последовательно. Амперметр показывает общую силу тока в цепи. Общее сопротивление цепи при последовательном соединении равно сумме сопротивлений:
$R_{общ1} = R_1 + R_2$
Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока $I_1$ связана с напряжением источника $\text{U}$ и общим сопротивлением $R_{общ1}$:
$I_1 = \frac{U}{R_{общ1}} = \frac{U}{R_1 + R_2}$
Выразим отсюда сумму сопротивлений:
$R_1 + R_2 = \frac{U}{I_1} = \frac{12 \text{ В}}{1 \text{ А}} = 12$ Ом.
Это наше первое уравнение.

2. Когда ключ замкнут в положении 2, резисторы $R_1$ и $R_2$ соединены параллельно. Амперметр снова показывает общую силу тока в цепи. Общее сопротивление цепи при параллельном соединении вычисляется по формуле:
$R_{общ2} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$
Применим закон Ома для этого случая:
$I_2 = \frac{U}{R_{общ2}}$
Выразим общее сопротивление:
$R_{общ2} = \frac{U}{I_2} = \frac{12 \text{ В}}{4 \text{ А}} = 3$ Ом.
Таким образом, мы получаем второе уравнение:
$\frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = 3$ Ом.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $R_1 + R_2 = 12$
2) $\frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = 3$
Подставим значение $R_1 + R_2$ из первого уравнения во второе:
$\frac{R_1 \cdot R_2}{12} = 3$
Отсюда находим произведение сопротивлений:
$R_1 \cdot R_2 = 3 \cdot 12 = 36$.

Решим полученную систему:
$R_1 + R_2 = 12$
$R_1 \cdot R_2 = 36$
Из первого уравнения выразим $R_2$: $R_2 = 12 - R_1$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$R_1 \cdot (12 - R_1) = 36$
$12R_1 - R_1^2 = 36$
$R_1^2 - 12R_1 + 36 = 0$
Это квадратное уравнение является полным квадратом:
$(R_1 - 6)^2 = 0$
Отсюда находим $R_1$:
$R_1 = 6$ Ом.
Теперь найдем $R_2$:
$R_2 = 12 - R_1 = 12 - 6 = 6$ Ом.

Ответ: Сопротивления резисторов равны $R_1 = 6$ Ом и $R_2 = 6$ Ом.