Номер 5, страница 89, часть 2 - гдз по физике 8 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава III. Электрические явления. Параграф 20. Применение закона Ома к параллельному и смешанному соединению проводников - номер 5, страница 89.

Условие.

5. Ответ предыдущей задачи указывает на то, что сопротивление участка цепи, состоящего из двух параллельно соединённых резисторов, меньше, чем сопротивление любого из этих резисторов. Докажите, что это справедливо при любых сопротивлениях резисторов.

Решение.

Дано:

Два резистора с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$, соединенные параллельно.

Сопротивления являются положительными величинами: $R_1 > 0$ и $R_2 > 0$.

Найти:

Доказать, что общее сопротивление $R_{общ}$ меньше сопротивления каждого из резисторов: $R_{общ} < R_1$ и $R_{общ} < R_2$.

Решение:

Формула для расчета общего сопротивления $R_{общ}$ при параллельном соединении двух резисторов $R_1$ и $R_2$ имеет вид:

$\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

Отсюда, выразив $R_{общ}$, получаем:

$R_{общ} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

Докажем сначала, что $R_{общ} < R_1$.

Рассмотрим выражение для $R_{общ}$:

$R_{общ} = R_1 \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2}$

Поскольку по условию сопротивление $R_1 > 0$, то знаменатель дроби $(R_1 + R_2)$ больше ее числителя $R_2$. Это означает, что дробь всегда меньше единицы:

$\frac{R_2}{R_1 + R_2} < 1$

Таким образом, общее сопротивление $R_{общ}$ равно произведению $R_1$ на множитель, который строго меньше единицы. Следовательно, $R_{общ}$ всегда будет меньше $R_1$.

Теперь докажем, что $R_{общ} < R_2$.

Аналогично, представим $R_{общ}$ в виде:

$R_{общ} = R_2 \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2}$

Поскольку $R_2 > 0$, знаменатель дроби $(R_1 + R_2)$ больше ее числителя $R_1$. Это означает, что дробь всегда меньше единицы:

$\frac{R_1}{R_1 + R_2} < 1$

Следовательно, общее сопротивление $R_{общ}$ равно произведению $R_2$ на множитель, который строго меньше единицы, и поэтому $R_{общ}$ всегда будет меньше $R_2$.

Оба неравенства доказаны для любых положительных значений сопротивлений $R_1$ и $R_2$. Физический смысл этого заключается в том, что при параллельном соединении добавляется дополнительный путь для прохождения тока, что уменьшает общее сопротивление цепи.

Ответ:

Утверждение доказано. Общее сопротивление участка цепи, состоящего из двух параллельно соединенных резисторов, всегда меньше сопротивления любого из этих резисторов, так как $R_{общ} = R_1 \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2}$ и $R_{общ} = R_2 \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2}$, а множители $\frac{R_2}{R_1 + R_2}$ и $\frac{R_1}{R_1 + R_2}$ всегда меньше единицы при любых $R_1 > 0$ и $R_2 > 0$.