Номер 2, страница 89, часть 2 - гдз по физике 8 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава III. Электрические явления. Параграф 20. Применение закона Ома к параллельному и смешанному соединению проводников - номер 2, страница 89.

Условие.

2. Докажите, что общее сопротивление $\text{R}$ трёх параллельно соединённых проводников сопротивлениями $R_1, R_2$ и $R_3$ выражается формулой $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}.$

Решение.

Дано:

Три проводника с сопротивлениями $R_1$, $R_2$, $R_3$.

Соединение проводников — параллельное.

Найти:

Доказать, что общее сопротивление $\text{R}$ выражается формулой $ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} $.

Решение:

При параллельном соединении проводников напряжение на концах каждого из них одинаково и равно общему напряжению $\text{U}$ на всём участке цепи:

$U = U_1 = U_2 = U_3$

Согласно первому закону Кирхгофа (закону для узла цепи), общий ток $\text{I}$ в неразветвленной части цепи равен сумме токов в отдельных параллельных ветвях:

$I = I_1 + I_2 + I_3$

Используя закон Ома для участка цепи, выразим ток через напряжение и сопротивление для всего участка и для каждого проводника в отдельности:

Общий ток: $I = \frac{U}{R}$

Ток в первом проводнике: $I_1 = \frac{U_1}{R_1} = \frac{U}{R_1}$

Ток во втором проводнике: $I_2 = \frac{U_2}{R_2} = \frac{U}{R_2}$

Ток в третьем проводнике: $I_3 = \frac{U_3}{R_3} = \frac{U}{R_3}$

Теперь подставим полученные выражения для токов в уравнение для суммы токов:

$\frac{U}{R} = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2} + \frac{U}{R_3}$

Поскольку напряжение $\text{U}$ присутствует в каждом члене уравнения и не равно нулю (при наличии тока в цепи), мы можем сократить обе части уравнения на $\text{U}$:

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$

Таким образом, мы доказали, что при параллельном соединении проводников величина, обратная общему сопротивлению, равна сумме величин, обратных сопротивлениям каждого из проводников.

Ответ: Формула $ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} $ для общего сопротивления трёх параллельно соединённых проводников доказана на основе закона Ома и законов для параллельного соединения (равенство напряжений на параллельных участках и сложение токов в узле).