Номер 4.31, страница 20 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Тепловые явления. 4. Удельная теплоемкость. Уравнение теплового баланса - номер 4.31, страница 20.

Условие.

4.31. В алюминиевой кастрюле массой $1,5 \, \text{кг}$ находится $800 \, \text{г}$ воды при комнатной температуре ($20 °C$). Сколько кипятка нужно долить в кастрюлю, чтобы получить воду температурой $45 °C$?

Решение.

Дано:

Масса алюминиевой кастрюли, $m_{ал} = 1.5$ кг

Масса воды, $m_{в1} = 800$ г

Начальная температура кастрюли и воды, $t_1 = 20$ °C

Конечная температура воды, $t = 45$ °C

Температура кипятка, $t_2 = 100$ °C

Удельная теплоемкость алюминия, $c_{ал} = 920 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

Удельная теплоемкость воды, $c_{в} = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

$m_{в1} = 800$ г $= 0.8$ кг

Найти:

Массу кипятка $m_{в2}$, которую нужно долить.

Решение:

В данной задаче происходит теплообмен между кипятком, холодной водой и алюминиевой кастрюлей. Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, отданное более горячим телом (кипятком), равно количеству теплоты, полученному более холодными телами (кастрюлей и холодной водой). Будем считать систему изолированной, то есть теплообмен с окружающей средой отсутствует.

Уравнение теплового баланса имеет вид:

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

1. Количество теплоты, отданное кипятком при остывании от $t_2$ до $\text{t}$:

$Q_{отданное} = c_{в} \cdot m_{в2} \cdot (t_2 - t)$

2. Количество теплоты, полученное кастрюлей при нагревании от $t_1$ до $\text{t}$:

$Q_{полученное, ал} = c_{ал} \cdot m_{ал} \cdot (t - t_1)$

3. Количество теплоты, полученное холодной водой при нагревании от $t_1$ до $\text{t}$:

$Q_{полученное, в1} = c_{в} \cdot m_{в1} \cdot (t - t_1)$

Общее количество полученной теплоты:

$Q_{полученное} = Q_{полученное, ал} + Q_{полученное, в1} = (c_{ал} \cdot m_{ал} + c_{в} \cdot m_{в1}) \cdot (t - t_1)$

Подставим выражения для количеств теплоты в уравнение теплового баланса:

$c_{в} \cdot m_{в2} \cdot (t_2 - t) = (c_{ал} \cdot m_{ал} + c_{в} \cdot m_{в1}) \cdot (t - t_1)$

Выразим из этого уравнения искомую массу кипятка $m_{в2}$:

$m_{в2} = \frac{(c_{ал} \cdot m_{ал} + c_{в} \cdot m_{в1}) \cdot (t - t_1)}{c_{в} \cdot (t_2 - t)}$

Подставим числовые значения в формулу:

$m_{в2} = \frac{(920 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 1.5 \text{ кг} + 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 0.8 \text{ кг}) \cdot (45 °C - 20 °C)}{4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot (100 °C - 45 °C)}$

$m_{в2} = \frac{(1380 + 3360) \text{ Дж/°C} \cdot 25 °C}{4200 \text{ Дж/(кг} \cdot °C) \cdot 55 °C}$

$m_{в2} = \frac{4740 \cdot 25}{4200 \cdot 55} \text{ кг}$

$m_{в2} = \frac{118500}{231000} \text{ кг} \approx 0.513$ кг

Можно также выразить ответ в граммах:

$0.513$ кг $= 513$ г

Ответ: чтобы получить воду температурой 45 °C, нужно долить в кастрюлю примерно 0.513 кг (или 513 г) кипятка.