Номер 7.73, страница 43 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Тепловые явления. 7. Испарение, конденсация, кипение - номер 7.73, страница 43.

Условие.

7.73. В калориметр, содержащий воду массой $m_в = 500$ г при температуре $t_в = 20 \degree C$, впустили водяной пар при температуре $t_п = 100 \degree C$. Какая температура $\text{t}$ установится в калориметре, если масса пара равна:

a) 10 г;

б) 100 г?

Какой станет масса $\text{m}$ воды в каждом из этих случаев?

Решение.

Дано:

$m_в = 500$ г

$t_в = 20$ °C

$t_п = 100$ °C

а) $m_{п1} = 10$ г

б) $m_{п2} = 100$ г

Удельная теплоемкость воды $c = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

Удельная теплота парообразования воды $L = 2.3 \times 10^6 \frac{Дж}{кг}$

Перевод в СИ:

$m_в = 0.5$ кг

$m_{п1} = 0.01$ кг

$m_{п2} = 0.1$ кг

Найти:

Конечную температуру $\text{t}$ и конечную массу воды $\text{m}$ в каждом случае.

Решение:

Запишем уравнение теплового баланса для системы, пренебрегая теплообменом с калориметром и окружающей средой. Количество теплоты, отданное паром, равно количеству теплоты, полученному водой.

Пар при температуре 100 °C сначала конденсируется, выделяя теплоту $Q_{конд} = L \cdot m_п$, а затем образовавшаяся вода остывает до конечной температуры $\text{t}$, выделяя теплоту $Q_{охл} = c \cdot m_п \cdot (t_п - t)$.

Вода в калориметре нагревается от начальной температуры $t_в$ до конечной температуры $\text{t}$, поглощая теплоту $Q_{нагр} = c \cdot m_в \cdot (t - t_в)$.

Уравнение теплового баланса имеет вид:

$Q_{конд} + Q_{охл} = Q_{нагр}$

$L \cdot m_п + c \cdot m_п \cdot (t_п - t) = c \cdot m_в \cdot (t - t_в)$

Данное уравнение справедливо, если весь пар сконденсируется, и конечная температура будет в диапазоне от 20 °C до 100 °C.

а) $m_{п1} = 10$ г

Подставим в уравнение теплового баланса значения для первого случая ($m_п = m_{п1} = 0.01$ кг) и решим его относительно конечной температуры $\text{t}$.

$L \cdot m_{п1} + c \cdot m_{п1} \cdot t_п - c \cdot m_{п1} \cdot t = c \cdot m_в \cdot t - c \cdot m_в \cdot t_в$

$t \cdot (c \cdot m_в + c \cdot m_{п1}) = L \cdot m_{п1} + c \cdot m_{п1} \cdot t_п + c \cdot m_в \cdot t_в$

$t = \frac{L \cdot m_{п1} + c \cdot (m_{п1} t_п + m_в t_в)}{c \cdot (m_в + m_{п1})}$

$t = \frac{2.3 \times 10^6 \frac{Дж}{кг} \cdot 0.01 \text{ кг} + 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot (0.01 \text{ кг} \cdot 100 °C + 0.5 \text{ кг} \cdot 20 °C)}{4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot (0.5 \text{ кг} + 0.01 \text{ кг})}$

$t = \frac{23000 + 4200 \cdot (1 + 10)}{4200 \cdot 0.51} = \frac{23000 + 46200}{2142} = \frac{69200}{2142} \approx 32.3$ °C

Полученная температура находится в пределах от 20 °C до 100 °C, значит, весь пар сконденсировался. Конечная масса воды $m_1$ будет суммой начальной массы воды и массы пара.

$m_1 = m_в + m_{п1} = 500 \text{ г} + 10 \text{ г} = 510$ г

Ответ: конечная температура установится около $32.3$ °C, а масса воды станет $510$ г.

б) $m_{п2} = 100$ г

Проверим, достаточно ли тепла, выделяемого при конденсации всего пара, чтобы нагреть всю воду до 100 °C.

Количество теплоты, которое выделится при конденсации 100 г пара:

$Q_{конд} = L \cdot m_{п2} = 2.3 \times 10^6 \frac{Дж}{кг} \cdot 0.1 \text{ кг} = 230000$ Дж

Количество теплоты, необходимое для нагрева 500 г воды от 20 °C до 100 °C:

$Q_{нагр} = c \cdot m_в \cdot (t_п - t_в) = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 0.5 \text{ кг} \cdot (100 °C - 20 °C) = 168000$ Дж

Так как $Q_{конд} > Q_{нагр}$ ($230000$ Дж > $168000$ Дж), тепла от конденсации пара хватит, чтобы нагреть воду до 100 °C, и при этом не весь пар сконденсируется. Следовательно, конечная температура в калориметре будет 100 °C.

Найдем массу пара $m'_{п}$, которая сконденсируется, отдав теплоту, равную $Q_{нагр}$.

$L \cdot m'_{п} = Q_{нагр}$

$m'_{п} = \frac{Q_{нагр}}{L} = \frac{168000 \text{ Дж}}{2.3 \times 10^6 \frac{Дж}{кг}} \approx 0.073$ кг = 73 г

Таким образом, для нагрева воды до 100 °C сконденсируется только 73 г пара. Конечная масса воды $m_2$ будет равна сумме начальной массы воды и массы сконденсировавшегося пара.

$m_2 = m_в + m'_{п} = 500 \text{ г} + 73 \text{ г} = 573$ г

Ответ: конечная температура установится $100$ °C, а масса воды станет $573$ г.