Номер 17.60, страница 93 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Электромагнитные явления. 17. Работа и мощность тока - номер 17.60, страница 93.

Условие.

17.60. Электрический чайник имеет две обмотки. При включении первой вода закипает через 12 мин, при включении обеих обмоток последовательно — через 36 мин. Через какое время закипит вода в чайнике, если включить только вторую обмотку? обе обмотки параллельно? Теплообмен с окружающей средой не учитывайте.

Решение.

Дано:

$t_1 = 12$ мин (время закипания с первой обмоткой)

$t_{посл} = 36$ мин (время закипания при последовательном соединении)

$t_1 = 12 \cdot 60 = 720$ с
$t_{посл} = 36 \cdot 60 = 2160$ с

Найти:

$t_2$ — время закипания, если включить только вторую обмотку.

$t_{пар}$ — время закипания, если включить обе обмотки параллельно.

Решение:

Количество теплоты $\text{Q}$, необходимое для нагревания и кипячения воды в чайнике, во всех случаях одинаково, так как масса воды и изменение ее температуры не меняются. По условию, теплообменом с окружающей средой можно пренебречь.

Согласно закону Джоуля-Ленца, количество теплоты, выделяемое нагревателем, равно $Q = P \cdot t$, где $\text{P}$ — мощность нагревателя, а $\text{t}$ — время его работы. Мощность, в свою очередь, зависит от напряжения в сети $\text{U}$ и сопротивления нагревателя $\text{R}$ по формуле $P = \frac{U^2}{R}$. Напряжение сети $\text{U}$ будем считать постоянным.

Объединив формулы, получим: $Q = \frac{U^2}{R}t$.

Отсюда можно выразить время, необходимое для закипания воды: $t = \frac{Q \cdot R}{U^2}$. Так как величины $\text{Q}$ и $\text{U}$ постоянны, время закипания $\text{t}$ прямо пропорционально сопротивлению $\text{R}$ нагревательного элемента.

Время закипания, если включить только вторую обмотку

Пусть $R_1$ и $R_2$ — сопротивления первой и второй обмоток соответственно. Тогда время закипания для каждой из них в отдельности можно записать как:

$t_1 = \frac{QR_1}{U^2}$

$t_2 = \frac{QR_2}{U^2}$

При последовательном соединении обмоток их общее сопротивление равно сумме сопротивлений: $R_{посл} = R_1 + R_2$.

Время закипания при последовательном соединении:

$t_{посл} = \frac{Q R_{посл}}{U^2} = \frac{Q(R_1 + R_2)}{U^2} = \frac{QR_1}{U^2} + \frac{QR_2}{U^2}$

Подставив выражения для $t_1$ и $t_2$, получаем простую зависимость:

$t_{посл} = t_1 + t_2$

Из этой формулы можем найти время закипания при включении только второй обмотки $t_2$:

$t_2 = t_{посл} - t_1 = 36$ мин - $\text{12}$ мин = $\text{24}$ мин.

Ответ: вода закипит через 24 минуты, если включить только вторую обмотку.

Время закипания, если включить обе обмотки параллельно

При параллельном соединении обмоток величина, обратная общему сопротивлению $R_{пар}$, находится по формуле:

$\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

Время закипания при параллельном соединении $t_{пар} = \frac{Q R_{пар}}{U^2}$. Удобнее выразить эту зависимость через обратные величины. Из $t = \frac{QR}{U^2}$ следует, что $\frac{1}{t} = \frac{U^2}{QR}$.

Тогда для параллельного соединения:

$\frac{1}{t_{пар}} = \frac{U^2}{Q R_{пар}} = \frac{U^2}{Q} \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right) = \frac{U^2}{QR_1} + \frac{U^2}{QR_2}$

Заменив $\frac{U^2}{QR_1}$ на $\frac{1}{t_1}$ и $\frac{U^2}{QR_2}$ на $\frac{1}{t_2}$, получаем:

$\frac{1}{t_{пар}} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$

Теперь подставим известные значения времени $t_1 = 12$ мин и найденное ранее $t_2 = 24$ мин:

$\frac{1}{t_{пар}} = \frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{2}{24} + \frac{1}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$ мин$^{-1}$

Отсюда находим $t_{пар}$:

$t_{пар} = 8$ мин.

Ответ: вода закипит через 8 минут, если включить обе обмотки параллельно.