Номер 17.59, страница 93 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Электромагнитные явления. 17. Работа и мощность тока - номер 17.59, страница 93.

Условие.

17.59. Сколько витков изолированной никелиновой проволоки надо намотать на фарфоровый цилиндр диаметром 1,5 см, чтобы изготовить кипятильник, с помощью которого можно за 10 мин довести до кипения 2 л воды, взятой при температуре 20 °C? Диаметр проволоки 0,2 мм, напряжение сети 220 В. Считайте, что 60 % выделяющейся энергии идет на нагревание воды.

Решение.

Дано:

Диаметр цилиндра $D_ц = 1,5 \text{ см} = 0,015 \text{ м}$
Время $t = 10 \text{ мин} = 600 \text{ с}$
Объем воды $V = 2 \text{ л} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
Начальная температура воды $T_1 = 20 \text{ }^\circ\text{С}$
Конечная температура воды (кипение) $T_2 = 100 \text{ }^\circ\text{С}$
Диаметр проволоки $d_п = 0,2 \text{ мм} = 0,2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
Напряжение $U = 220 \text{ В}$
КПД $\eta = 60 \% = 0,6$
Удельное сопротивление никелина $\rho = 0,4 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 0,4 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$
Удельная теплоемкость воды $c = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{ }^\circ\text{С}}$
Плотность воды $\rho_в = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

Количество витков $\text{N}$.

Решение:

1. Найдем количество теплоты ($Q_{полезн}$), необходимое для нагревания воды до кипения. Сначала определим массу воды: $m = \rho_в \cdot V = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 2 \text{ кг}$.
Количество теплоты вычисляется по формуле: $Q_{полезн} = c \cdot m \cdot (T_2 - T_1)$.
$Q_{полезн} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{ }^\circ\text{С}} \cdot 2 \text{ кг} \cdot (100 \text{ }^\circ\text{С} - 20 \text{ }^\circ\text{С}) = 8400 \cdot 80 = 672000 \text{ Дж}$.

2. Полезная теплота составляет 60% от всей энергии ($Q_{полн}$), выделяемой кипятильником. Найдем полную энергию: $Q_{полезн} = \eta \cdot Q_{полн} \implies Q_{полн} = \frac{Q_{полезн}}{\eta}$.
$Q_{полн} = \frac{672000 \text{ Дж}}{0,6} = 1120000 \text{ Дж}$.

3. Полная энергия, выделяемая проводником с током, определяется законом Джоуля-Ленца: $Q_{полн} = \frac{U^2}{R} \cdot t$. Отсюда выразим сопротивление проволоки $\text{R}$: $R = \frac{U^2 \cdot t}{Q_{полн}} = \frac{(220 \text{ В})^2 \cdot 600 \text{ с}}{1120000 \text{ Дж}} = \frac{48400 \cdot 600}{1120000} \approx 25,93 \text{ Ом}$.

4. Сопротивление проводника также зависит от его геометрических размеров и материала: $R = \rho \frac{L}{S}$, где $\text{L}$ – длина проволоки, $\text{S}$ – площадь ее поперечного сечения.
Площадь поперечного сечения: $S = \frac{\pi d_п^2}{4}$.
$S = \frac{\pi \cdot (0,2 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0,04 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}{4} = \pi \cdot 10^{-8} \text{ м}^2 \approx 3,14 \cdot 10^{-8} \text{ м}^2$.
Выразим и найдем длину проволоки $\text{L}$: $L = \frac{R \cdot S}{\rho} = \frac{25,93 \text{ Ом} \cdot 3,14 \cdot 10^{-8} \text{ м}^2}{0,4 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}} \approx 2,035 \text{ м}$.

5. Длина одного витка ($l_1$) равна длине окружности фарфорового цилиндра: $l_1 = \pi D_ц$.
$l_1 = \pi \cdot 0,015 \text{ м} \approx 0,0471 \text{ м}$.
Общее число витков $\text{N}$ равно отношению общей длины проволоки $\text{L}$ к длине одного витка $l_1$: $N = \frac{L}{l_1} = \frac{2,035 \text{ м}}{0,0471 \text{ м}} \approx 43,2$.

Поскольку число витков должно быть целым, округляем полученное значение.

Ответ: необходимо намотать 43 витка.