Номер 26.69, страница 135 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Оптические явления. 26. Отражение света. Изображение в зеркале - номер 26.69, страница 135.

Условие.

26.69. Как следует расположить точку и два зеркала, чтобы точка и ее изображение находились в вершинах:

а) квадрата;

б) равностороннего треугольника?

Решение.

Решение

а) квадрата
Чтобы точка и ее изображения образовали вершины квадрата, необходимо четыре вершины. Этими вершинами будут сама точка-источник $\text{S}$, ее изображение $S_1$ в первом зеркале, ее изображение $S_2$ во втором зеркале и изображение второго порядка $S_{12}$ (которое является изображением $S_1$ во втором зеркале и одновременно изображением $S_2$ в первом).
Пусть два плоских зеркала пересекаются в точке $\text{O}$ под углом $\alpha$. Точка $\text{S}$ и все ее изображения лежат на окружности с центром в точке $\text{O}$.
Для того чтобы четыре точки $S, S_1, S_2, S_{12}$ образовали квадрат, они должны быть вершинами прямоугольника с равными сторонами. Это достигается, если зеркала расположены под прямым углом друг к другу, то есть $\alpha = 90^\circ$.
Если поместить точку пересечения зеркал $\text{O}$ в начало координат, а сами зеркала расположить вдоль осей $\text{Ox}$ и $\text{Oy}$, то для точки $\text{S}$ с координатами $(x, y)$ ее изображения будут иметь координаты: $S_1(x, -y)$, $S_2(-x, y)$ и $S_{12}(-x, -y)$. Эти четыре точки образуют прямоугольник со сторонами длиной $2|x|$ и $2|y|$.
Чтобы этот прямоугольник был квадратом, его стороны должны быть равны: $2|x| = 2|y|$, откуда следует $|x| = |y|$. Это условие означает, что точка $\text{S}$ должна находиться на биссектрисе угла, образованного зеркалами.
Ответ: два зеркала следует расположить под прямым углом ($\alpha = 90^\circ$) друг к другу, а точку поместить на биссектрису угла между ними.

б) равностороннего треугольника
Чтобы точка и ее изображения образовали вершины равностороннего треугольника, необходимо три вершины. Этими вершинами будут сама точка $\text{S}$ и ее изображения первого порядка: $S_1$ в первом зеркале и $S_2$ во втором.
Точки $S, S_1, S_2$ лежат на окружности с центром в точке пересечения зеркал $\text{O}$. Для того чтобы треугольник $SS_1S_2$ был равносторонним, все его стороны должны быть равны: $|SS_1| = |SS_2| = |S_1S_2|$.
Равенство сторон $|SS_1| = |SS_2|$ означает, что расстояние от точки $\text{S}$ до первого зеркала равно расстоянию до второго зеркала. Это выполняется, если точка $\text{S}$ расположена на биссектрисе угла $\alpha$ между зеркалами.
При расположении точки $\text{S}$ на биссектрисе угла $\alpha$ длина стороны $|SS_1|$ равна $2R\sin(\alpha/2)$, где $\text{R}$ — расстояние от точки $\text{S}$ до точки пересечения зеркал $\text{O}$. Длина стороны $|S_1S_2|$ определяется как хорда, стягивающая центральный угол $\angle S_1OS_2 = 2\alpha$. Ее длина равна $2R\sin(2\alpha/2) = 2R\sin(\alpha)$.
Приравнивая длины сторон для получения равностороннего треугольника, получаем уравнение:$2R\sin(\alpha/2) = 2R\sin(\alpha)$
Используя формулу синуса двойного угла $\sin(\alpha) = 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$, получаем:
$\sin(\alpha/2) = 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$
Поскольку угол $\alpha$ не может быть равен нулю, то $\sin(\alpha/2) \neq 0$, и мы можем сократить на $\sin(\alpha/2)$:
$1 = 2\cos(\alpha/2)$
$\cos(\alpha/2) = 1/2$
Отсюда следует, что $\alpha/2 = 60^\circ$, а значит, угол между зеркалами должен быть $\alpha = 120^\circ$.
Ответ: два зеркала следует расположить под углом $\alpha = 120^\circ$ друг к другу, а точку поместить на биссектрису этого угла.