Номер 28.63, страница 149 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Оптические явления. 28. Линзы - номер 28.63, страница 149.

Условие.

28.63. Между пламенем свечи высотой 3 см и стеной ставят собирающую линзу, которая дает на стене изображение пламени высотой 6 см. Линзу можно передвинуть так, что на стене опять будет четкое изображение пламени. Какую высоту будет иметь это изображение?

Решение.

Дано:

Высота пламени свечи (объекта), $h = 3$ см

Высота первого изображения, $H_1 = 6$ см

$h = 3 \times 10^{-2}$ м
$H_1 = 6 \times 10^{-2}$ м

Найти:

Высоту второго изображения, $H_2$.

Решение:

Пусть $\text{h}$ - высота объекта (пламени свечи), а $\text{H}$ - высота его изображения. Поперечное увеличение линзы $\Gamma$ определяется как отношение высоты изображения к высоте объекта:

$\Gamma = \frac{H}{h}$

Увеличение также можно выразить через расстояние от объекта до линзы $d_o$ и расстояние от линзы до изображения $d_i$:

$\Gamma = \frac{d_i}{d_o}$

В задаче расстояние между объектом (свечой) и экраном (стеной) $\text{L}$ постоянно. Для собирающей линзы существует два положения, при которых на экране получается четкое изображение. Это возможно, если расстояние между предметом и экраном $\text{L}$ больше учетверенного фокусного расстояния линзы ($L > 4f$).

Пусть в первом положении расстояние от объекта до линзы равно $d_{o1}$, а от линзы до изображения - $d_{i1}$. Тогда для первого изображения высотой $H_1$ имеем:

$\Gamma_1 = \frac{H_1}{h} = \frac{d_{i1}}{d_{o1}}$

При этом выполняется условие $d_{o1} + d_{i1} = L$.

Второе положение линзы, дающее четкое изображение, симметрично первому. Это следует из принципа обратимости световых лучей. Если поменять местами предмет и его действительное изображение, то лучи пойдут в обратном направлении. Таким образом, для второго положения расстояние от объекта до линзы $d_{o2}$ будет равно расстоянию от линзы до изображения в первом случае $d_{i1}$, а расстояние от линзы до изображения $d_{i2}$ будет равно расстоянию от объекта до линзы в первом случае $d_{o1}$.

$d_{o2} = d_{i1}$
$d_{i2} = d_{o1}$

Для второго изображения высотой $H_2$ увеличение будет равно:

$\Gamma_2 = \frac{H_2}{h} = \frac{d_{i2}}{d_{o2}} = \frac{d_{o1}}{d_{i1}}$

Сравнивая выражения для увеличений $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$, видим, что они являются взаимно обратными величинами:

$\Gamma_2 = \frac{1}{\Gamma_1}$

Подставим в это соотношение выражения для увеличений через высоты:

$\frac{H_2}{h} = \frac{1}{H_1/h} = \frac{h}{H_1}$

Отсюда получаем простое соотношение между высотами объекта и его двух изображений:

$H_1 \cdot H_2 = h^2$

Теперь можем найти высоту второго изображения $H_2$:

$H_2 = \frac{h^2}{H_1}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$H_2 = \frac{(3 \text{ см})^2}{6 \text{ см}} = \frac{9 \text{ см}^2}{6 \text{ см}} = 1.5 \text{ см}$

Ответ: высота второго изображения пламени будет 1,5 см.