Номер 15.23, страница 98 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 15. Магнитное поле. Сила Лоренца - номер 15.23, страница 98.

Условие.

15.23*. Пучок однозарядных ионов проходит «фильтр скоростей» (см. задачу 15.16), в котором $E = 500$ В/м и $B = 0,10$ Тл, и попадает затем в область однородного магнитного поля с индукцией $B_1 = 60$ мТл. Ионы влетают в поле под прямым углом к направлению вектора $B_1$. На каком расстоянии $\text{x}$ друг от друга окажутся ионы двух различных изотопов неона с относительной атомной массой 20 и 22, пройдя половину окружности?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Напряженность электрического поля в фильтре скоростей: $E = 500$ В/м
Индукция магнитного поля в фильтре скоростей: $B = 0,10$ Тл
Индукция второго магнитного поля: $B_1 = 60$ мТл
Относительная атомная масса первого изотопа неона: $A_1 = 20$
Относительная атомная масса второго изотопа неона: $A_2 = 22$
Ионы однозарядные: $q = e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл
Атомная единица массы: $1 \text{ а.е.м.} \approx 1,66 \cdot 10^{-27}$ кг

Перевод в систему СИ:
$B_1 = 60 \text{ мТл} = 60 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} = 0,06$ Тл
Масса первого изотопа: $m_1 = A_1 \cdot 1 \text{ а.е.м.} = 20 \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ кг} = 3,32 \cdot 10^{-26}$ кг
Масса второго изотопа: $m_2 = A_2 \cdot 1 \text{ а.е.м.} = 22 \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ кг} = 3,652 \cdot 10^{-26}$ кг

Найти:

Расстояние $\text{x}$ между ионами двух изотопов.

Решение:

1. Сначала найдем скорость ионов, которые проходят через «фильтр скоростей». В фильтре скоростей на заряженную частицу действуют две силы: электрическая сила $F_э = qE$ и сила Лоренца $F_л = qvB$. Чтобы частицы двигались прямолинейно, эти силы должны быть равны по модулю и противоположны по направлению:

$F_э = F_л$

$qE = qvB$

Отсюда скорость ионов:

$v = \frac{E}{B} = \frac{500 \text{ В/м}}{0,10 \text{ Тл}} = 5000 \text{ м/с} = 5 \cdot 10^3 \text{ м/с}$

2. После фильтра ионы с одинаковой скоростью $\text{v}$ влетают в однородное магнитное поле с индукцией $B_1$ перпендикулярно линиям индукции. В этом поле на ионы действует только сила Лоренца $F_{л1} = qvB_1$. Эта сила перпендикулярна скорости и сообщает ионам центростремительное ускорение, заставляя их двигаться по окружности. Согласно второму закону Ньютона:

$F_{л1} = ma_ц$

$qvB_1 = \frac{mv^2}{R}$

где $\text{m}$ — масса иона, а $\text{R}$ — радиус окружности. Выразим радиус траектории:

$R = \frac{mv}{qB_1}$

Поскольку ионы двух изотопов имеют разную массу ($m_1$ и $m_2$), они будут двигаться по окружностям разных радиусов:

$R_1 = \frac{m_1v}{qB_1}$ для изотопа с массой $m_1$.

$R_2 = \frac{m_2v}{qB_1}$ для изотопа с массой $m_2$.

3. По условию, ионы проходят половину окружности. Расстояние, на которое сместится ион от точки влета в поле, равно диаметру окружности $d = 2R$. Таким образом, ионы изотопов окажутся на расстояниях $d_1 = 2R_1$ и $d_2 = 2R_2$ от точки влета. Искомое расстояние $\text{x}$ между ними будет равно разности этих диаметров:

$x = |d_2 - d_1| = |2R_2 - 2R_1| = 2|R_2 - R_1|$

Подставим выражения для радиусов:

$x = 2 \left| \frac{m_2v}{qB_1} - \frac{m_1v}{qB_1} \right| = \frac{2v}{qB_1} |m_2 - m_1|$

Так как $m_2 > m_1$, то $|m_2 - m_1| = m_2 - m_1$. Подставим также выражение для скорости $v = E/B$:

$x = \frac{2E(m_2 - m_1)}{qBB_1}$

4. Подставим числовые значения и вычислим $\text{x}$:

$m_2 - m_1 = (22-20) \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ кг} = 2 \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ кг} = 3,32 \cdot 10^{-27}$ кг

$x = \frac{2 \cdot 500 \text{ В/м} \cdot (3,32 \cdot 10^{-27} \text{ кг})}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 0,10 \text{ Тл} \cdot 0,06 \text{ Тл}} = \frac{1000 \cdot 3,32 \cdot 10^{-27}}{1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 0,006} = \frac{3,32 \cdot 10^{-24}}{0,0096 \cdot 10^{-19}} = \frac{3,32 \cdot 10^{-24}}{9,6 \cdot 10^{-22}} \text{ м}$

$x = \frac{3,32}{9,6} \cdot 10^{-2} \text{ м} \approx 0,3458 \cdot 10^{-2} \text{ м} \approx 3,46 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Ответ: расстояние между ионами двух различных изотопов неона составит примерно $3,46 \cdot 10^{-3}$ м или $3,46$ мм.