Номер 15.22, страница 98 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 15. Магнитное поле. Сила Лоренца - номер 15.22, страница 98.

Условие.

15.22*. Сплошной металлический цилиндр радиусом $R = 20 \text{ см}$ вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью $\omega = 10^3 \text{ рад/с.}$ Чему равна напряженность $\text{E}$ электрического поля внутри цилиндра на расстоянии $\text{r}$ от оси? Какова разность потенциалов $\text{U}$ между поверхностью цилиндра и осью вращения? Какова должна быть индукция $\text{B}$ магнитного поля, направленного вдоль оси цилиндра, чтобы электрическое поле не возникло?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус цилиндра, $R = 20 \text{ см}$

Угловая скорость, $\omega = 10^3 \text{ рад/с}$

Масса электрона, $m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}$

Элементарный заряд, $e \approx 1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл}$

Перевод в систему СИ:

$R = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

1. Напряженность электрического поля $\text{E}$ на расстоянии $\text{r}$ от оси.

2. Разность потенциалов $\text{U}$ между поверхностью и осью.

3. Индукцию магнитного поля $\text{B}$, при которой электрическое поле не возникнет.

Решение:

Чему равна напряженность E электрического поля внутри цилиндра на расстоянии r от оси?

При вращении металлического цилиндра свободные электроны в нем движутся по окружностям. Это движение с центростремительным ускорением $a_c$. Для того чтобы электроны оставались в проводнике и вращались вместе с ним, на них должна действовать сила, создающая это ускорение. Эта сила имеет электрическую природу и возникает из-за перераспределения зарядов в проводнике.

Электроны под действием сил инерции смещаются к периферии цилиндра, в результате чего поверхность цилиндра приобретает отрицательный заряд, а область вблизи оси — положительный. Возникает радиально направленное от оси электрическое поле $\vec{E}$.

В установившемся режиме электрическая сила $\vec{F}_e$, действующая на электрон, является центростремительной силой $\vec{F}_c$. Сила, действующая на электрон (заряд $-e$) в электрическом поле $\vec{E}$, равна $\vec{F}_e = -e\vec{E}$. Эта сила должна быть равна произведению массы электрона $m_e$ на его центростремительное ускорение $\vec{a}_c$. Ускорение направлено к центру (против радиус-вектора $\vec{r}$), поэтому $\vec{F}_e = m_e \vec{a}_c$.

По модулю: $F_e = m_e a_c$.

Электрическая сила на электрон равна $F_e = eE$. Центростремительное ускорение для электрона на расстоянии $\text{r}$ от оси равно $a_c = \omega^2 r$.

Приравнивая силы, получаем:

$eE(r) = m_e \omega^2 r$

Отсюда находим модуль напряженности электрического поля на расстоянии $\text{r}$ от оси:

$E(r) = \frac{m_e \omega^2 r}{e}$

Ответ: Напряженность электрического поля на расстоянии $\text{r}$ от оси равна $E(r) = \frac{m_e \omega^2 r}{e}$ и направлена радиально от оси вращения.

Какова разность потенциалов U между поверхностью цилиндра и осью вращения?

Разность потенциалов $\text{U}$ между осью ($r=0$) и поверхностью ($r=R$) можно найти, проинтегрировав напряженность поля по радиусу. Так как поле направлено от оси, потенциал на оси выше, чем на поверхности.

$U = \varphi_{ось} - \varphi_{поверхность} = \int_0^R E(r) dr$

Подставим выражение для $E(r)$:

$U = \int_0^R \frac{m_e \omega^2 r}{e} dr = \frac{m_e \omega^2}{e} \int_0^R r dr$

$U = \frac{m_e \omega^2}{e} \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^R = \frac{m_e \omega^2 R^2}{2e}$

Подставим числовые значения:

$U = \frac{(9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}) \times (10^3 \text{ рад/с})^2 \times (0.2 \text{ м})^2}{2 \times (1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл})} \approx 1.14 \times 10^{-7} \text{ В} = 0.114 \text{ мкВ}$

Ответ: Разность потенциалов $U = \frac{m_e \omega^2 R^2}{2e} \approx 0.114 \text{ мкВ}$.

Какова должна быть индукция B магнитного поля, направленного вдоль оси цилиндра, чтобы электрическое поле не возникло?

Если электрическое поле не возникает ($E=0$), то центростремительная сила, необходимая для вращения электронов, должна создаваться другой силой. В данном случае это сила Лоренца, действующая со стороны магнитного поля.

Сила Лоренца, действующая на электрон (заряд $-e$), движущийся со скоростью $\vec{v}$ в магнитном поле $\vec{B}$, равна $\vec{F}_B = -e(\vec{v} \times \vec{B})$.

Скорость электрона $\vec{v}$ направлена по касательной к траектории, а магнитное поле $\vec{B}$ — вдоль оси вращения. Векторы $\vec{v}$ и $\vec{B}$ перпендикулярны. Поэтому модуль силы Лоренца равен $F_B = e v B$. Направление силы (согласно правилу левой руки для положительного заряда и противоположному для отрицательного) будет к центру окружности, то есть она будет центростремительной.

Приравняем силу Лоренца к необходимой центростремительной силе:

$F_B = F_c$

$e v B = m_e \omega^2 r$

Учитывая, что линейная скорость $v = \omega r$, получаем:

$e (\omega r) B = m_e \omega^2 r$

Сокращая на $\omega r$ (так как $\omega \neq 0$ и $r \neq 0$), получаем:

$e B = m_e \omega$

Отсюда индукция магнитного поля равна:

$B = \frac{m_e \omega}{e}$

Подставим числовые значения:

$B = \frac{(9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}) \times (10^3 \text{ рад/с})}{1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл}} \approx 5.69 \times 10^{-9} \text{ Тл} = 5.69 \text{ нТл}$

Ответ: Индукция магнитного поля $B = \frac{m_e \omega}{e} \approx 5.69 \text{ нТл}$.