Номер 15.15, страница 97 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 15. Магнитное поле. Сила Лоренца - номер 15.15, страница 97.

Условие.

15.15**. Опишите движение электрона в однородных параллельных электрическом и магнитном полях. Начальная скорость электрона $\text{v}$ направлена под углом $\alpha$ к векторам $\text{E}$ и $\text{B}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Электрон (заряд $q = -e$, масса $\text{m}$)
Однородное электрическое поле $\vec{E}$
Однородное магнитное поле $\vec{B}$
Поля параллельны: $\vec{E} \parallel \vec{B}$
Начальная скорость $\vec{v}$ (величина $\text{v}$)
Угол между $\vec{v}$ и векторами $\vec{E}, \vec{B}$ равен $\alpha$

Найти:

Описать траекторию движения электрона.

Решение:

На электрон, движущийся в электрическом и магнитном полях, действует сила Лоренца: $$ \vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) $$ Поскольку заряд электрона $q = -e$, то: $$ \vec{F} = -e(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) $$ Движение электрона описывается вторым законом Ньютона: $$ m\vec{a} = \vec{F} \quad \text{или} \quad m\frac{d\vec{v}}{dt} = -e(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) $$ Для анализа движения удобно разложить его на две составляющие: движение вдоль направления полей и движение в плоскости, перпендикулярной полям.

Введем декартову систему координат, направив ось $\text{Oz}$ вдоль общего направления векторов $\vec{E}$ и $\vec{B}$. Тогда $\vec{E}=(0, 0, E)$ и $\vec{B}=(0, 0, B)$. Начальную скорость $\vec{v}$ разложим на компоненту, параллельную оси $\text{Oz}$, $v_\parallel = v \cos \alpha$, и компоненту, перпендикулярную оси $\text{Oz}$, $v_\perp = v \sin \alpha$.

1. Движение вдоль полей (вдоль оси Oz)

В этом направлении на электрон действует только электрическая сила, так как векторное произведение $\vec{v} \times \vec{B}$ перпендикулярно $\vec{B}$ и, следовательно, не имеет составляющей вдоль оси $\text{Oz}$. $$ F_z = -eE $$ Согласно второму закону Ньютона, ускорение электрона вдоль оси $\text{Oz}$ постоянно: $$ a_z = \frac{F_z}{m} = -\frac{eE}{m} $$ Таким образом, вдоль направления полей электрон совершает равноускоренное движение. Его скорость $v_z$ и координата $\text{z}$ изменяются со временем по законам: $$ v_z(t) = v_\parallel + a_z t = v \cos \alpha - \frac{eE}{m}t $$ $$ z(t) = v_\parallel t + \frac{a_z t^2}{2} = (v \cos \alpha)t - \frac{eE}{2m}t^2 $$ (при условии, что в начальный момент времени $t=0$ электрон находился в начале координат).

2. Движение в плоскости, перпендикулярной полям (плоскость xy)

В этой плоскости действует только магнитная составляющая силы Лоренца, так как вектор $\vec{E}$ не имеет компонент в этой плоскости. $$ \vec{F}_\perp = -e(\vec{v}_\perp \times \vec{B}) $$ Эта сила всегда перпендикулярна вектору скорости $\vec{v}_\perp$, поэтому она не совершает работы и не изменяет величину скорости $v_\perp$. Она играет роль центростремительной силы, заставляя электрон двигаться по окружности. Величина этой силы постоянна: $$ F_\perp = e v_\perp B = e (v \sin \alpha) B $$ Из равенства центростремительной силы и магнитной силы $m \frac{v_\perp^2}{R} = e v_\perp B$ находим радиус окружности: $$ R = \frac{m v_\perp}{eB} = \frac{m v \sin \alpha}{eB} $$ Период обращения электрона по окружности $\text{T}$ и угловая (циклотронная) частота $\omega$ равны: $$ T = \frac{2\pi R}{v_\perp} = \frac{2\pi m}{eB} $$ $$ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{eB}{m} $$

3. Общая траектория движения

Полное движение электрона является суперпозицией (наложением) этих двух движений: равномерного вращения по окружности в плоскости $\text{xy}$ и равноускоренного движения вдоль оси $\text{Oz}$. Такая траектория представляет собой винтовую линию (спираль).

Основные характеристики траектории:

• Траектория — винтовая линия, ось которой параллельна векторам $\vec{E}$ и $\vec{B}$.
• Радиус винтовой линии постоянен и равен $R = \frac{m v \sin \alpha}{eB}$.
• Шаг винтовой линии, то есть расстояние, на которое смещается электрон вдоль оси за один оборот, не является постоянным, так как продольная скорость $v_z$ изменяется со временем из-за действия электрического поля. Шаг спирали будет уменьшаться, если начальная продольная скорость была направлена против силы $\vec{F}_z$ (т.е. вдоль $\vec{E}$), и увеличиваться, если она была сонаправлена с силой $\vec{F}_z$.

Ответ: Движение электрона представляет собой движение по винтовой линии с постоянным радиусом $R = \frac{m v \sin \alpha}{eB}$ и переменным шагом. Ось винтовой линии параллельна общему направлению электрического и магнитного полей. Вращение в плоскости, перпендикулярной полям, происходит с постоянной угловой скоростью $\omega = \frac{eB}{m}$. Движение вдоль оси является равноускоренным с постоянным ускорением $a = -\frac{eE}{m}$, направленным против вектора $\vec{E}$.