Номер 15.14, страница 97 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 15. Магнитное поле. Сила Лоренца - номер 15.14, страница 97.

Условие.

15.14*. Электрон влетает в однородное магнитное поле со скоростью $\text{v}$ под углом $\alpha$ к направлению поля. Магнитная индукция поля $\text{B}$. По какой траектории будет двигаться электрон?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Частица – электрон (заряд $q = -e$, масса $m_e$)
Скорость электрона – $\text{v}$
Угол между скоростью и направлением поля – $\alpha$
Магнитная индукция поля – $\text{B}$

Найти:

Траектория движения электрона – ?

Решение:

На электрон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца, которая определяется выражением: $ \vec{F}_Л = q(\vec{v} \times \vec{B}) $ где $q = -e$ – заряд электрона, $\vec{v}$ – его скорость, $\vec{B}$ – вектор магнитной индукции.

Для анализа движения разложим вектор скорости электрона $\vec{v}$ на две составляющие:
1. Продольную составляющую $\vec{v}_{\|}$, параллельную вектору магнитной индукции $\vec{B}$. Ее модуль равен $ v_{\|} = v \cos\alpha $.
2. Поперечную составляющую $\vec{v}_{\perp}$, перпендикулярную вектору $\vec{B}$. Ее модуль равен $ v_{\perp} = v \sin\alpha $.

Рассмотрим действие силы Лоренца на каждую из этих составляющих скорости по отдельности.

Сила, обусловленная продольной составляющей скорости, равна нулю, так как векторы $\vec{v}_{\|}$ и $\vec{B}$ коллинеарны (параллельны), и их векторное произведение равно нулю: $ \vec{F}_{\|} = q(\vec{v}_{\|} \times \vec{B}) = 0 $ Это означает, что в направлении, параллельном магнитному полю, на электрон не действуют силы. Следовательно, в этом направлении электрон движется равномерно и прямолинейно со скоростью $ v_{\|} = v \cos\alpha $.

Сила, обусловленная поперечной составляющей скорости, перпендикулярна как вектору $\vec{v}_{\perp}$, так и вектору $\vec{B}$. Ее модуль равен: $ F_{\perp} = |q| v_{\perp} B \sin(90^\circ) = e v B \sin\alpha $ Эта сила всегда перпендикулярна вектору поперечной скорости $\vec{v}_{\perp}$, поэтому она не изменяет модуль этой скорости, а только постоянно меняет ее направление. Такая сила является центростремительной и заставляет электрон двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной вектору $\vec{B}$.

Радиус этой окружности $\text{r}$ можно найти, приравняв силу Лоренца к центростремительной силе ($F_{цс} = \frac{m_e v_{\perp}^2}{r}$): $ e v_{\perp} B = \frac{m_e v_{\perp}^2}{r} $ Отсюда радиус траектории: $ r = \frac{m_e v_{\perp}}{eB} = \frac{m_e v \sin\alpha}{eB} $

Таким образом, итоговое движение электрона представляет собой суперпозицию (сложение) двух движений:
1. Равномерного прямолинейного движения вдоль линий магнитной индукции со скоростью $v_{\|} = v \cos\alpha$.
2. Равномерного движения по окружности в плоскости, перпендикулярной линиям магнитной индукции, со скоростью $v_{\perp} = v \sin\alpha$.

Сложение этих двух движений (поступательного и вращательного) дает траекторию, которая называется винтовой линией (или спиралью). Ось этой винтовой линии совпадает с направлением вектора магнитной индукции $\vec{B}$.

Ответ: Электрон будет двигаться по винтовой линии (спирали), ось которой параллельна направлению магнитного поля.