Номер 15.20, страница 98 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 15. Магнитное поле. Сила Лоренца - номер 15.20, страница 98.

Условие.

15.20. Горизонтальное сверхпроводящее кольцо, по которому течет ток силой $I = 2,0$ А, «парит» в неоднородном магнитном поле (см. рисунок). Вектор магнитной индукции в точках, где находится кольцо, образует угол $\alpha = 30^\circ$ с осью кольца и равен по модулю $B = 0,10$ Тл. Найдите массу $\text{m}$ кольца, если его радиус $R = 5,0$ см.

К задаче 15.20

Решение.

Решение 2.

Дано:

Сила тока $I = 2,0$ А
Радиус кольца $R = 5,0$ см = $0,05$ м
Модуль магнитной индукции $B = 0,10$ Тл
Угол $\alpha = 30^{\circ}$
Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Массу кольца $\text{m}$

Решение:

Кольцо «парит» в магнитном поле, это означает, что оно находится в равновесии. Условием равновесия является равенство нулю векторной суммы всех действующих на него сил. На кольцо действуют две силы: сила тяжести $\vec{F}_g$, направленная вертикально вниз, и сила Ампера $\vec{F}_A$, действующая со стороны магнитного поля. Для равновесия необходимо, чтобы сила Ампера была направлена вертикально вверх и по модулю равнялась силе тяжести:

$ \vec{F}_A + \vec{F}_g = 0 \implies F_A = F_g = mg $

Сила Ампера, действующая на малый элемент проводника с током $d\vec{l}$, определяется выражением:

$ d\vec{F}_A = I(d\vec{l} \times \vec{B}) $

где $\text{I}$ — сила тока, $d\vec{l}$ — вектор элемента длины проводника, направленный по току, $\vec{B}$ — вектор магнитной индукции.

Разложим вектор магнитной индукции $\vec{B}$ на две составляющие: радиальную $B_r$, направленную перпендикулярно оси кольца, и осевую $B_z$, параллельную оси кольца. Согласно условию, угол между вектором $\vec{B}$ и осью кольца равен $\alpha$. Тогда компоненты поля равны:

$ B_r = B \sin\alpha $

$ B_z = B \cos\alpha $

Рассмотрим действие каждой компоненты поля на ток в кольце:

1. Осевая компонента $B_z$ перпендикулярна плоскости кольца. Сила, создаваемая этой компонентой, действует на каждый элемент кольца $d\vec{l}$ в радиальном направлении (от центра или к центру, в зависимости от направления тока). При суммировании по всему кольцу эти радиальные силы взаимно компенсируются, и их равнодействующая равна нулю.

2. Радиальная компонента $B_r$ лежит в плоскости, проходящей через ось кольца. Вектор тока $d\vec{l}$ в любой точке кольца перпендикулярен этой компоненте. Сила Ампера, создаваемая этой компонентой, будет направлена перпендикулярно и $d\vec{l}$, и $B_r$, то есть вдоль оси кольца (вертикально вверх или вниз).

Для того чтобы кольцо левитировало, эта сила должна быть направлена вверх. Модуль силы, действующей на элемент $d\vec{l}$, равен $dF_A = I B_r dl$, так как $d\vec{l} \perp \vec{B}_r$.

Полная вертикальная сила Ампера, действующая на кольцо, равна сумме сил, действующих на все его элементы. Так как $\text{I}$ и $B_r$ одинаковы для всех точек кольца, то:

$ F_A = \oint I B_r dl = I B_r \oint dl = I B_r L $

где $\text{L}$ — длина окружности кольца, $L = 2\pi R$.

Подставим выражения для $\text{L}$ и $B_r$:

$ F_A = I (B \sin\alpha) (2\pi R) $

Приравнивая силу Ампера силе тяжести, получаем:

$ mg = 2\pi R I B \sin\alpha $

Отсюда выражаем массу $\text{m}$:

$ m = \frac{2\pi R I B \sin\alpha}{g} $

Подставим числовые значения:

$ m = \frac{2 \cdot \pi \cdot 0,05 \text{ м} \cdot 2,0 \text{ А} \cdot 0,10 \text{ Тл} \cdot \sin(30^{\circ})}{9,8 \text{ м/с}^2} $

Так как $\sin(30^{\circ}) = 0,5$, то:

$ m = \frac{2 \cdot \pi \cdot 0,05 \cdot 2,0 \cdot 0,10 \cdot 0,5}{9,8} = \frac{0,01\pi}{9,8} \approx \frac{0,031416}{9,8} \approx 0,0032057 \text{ кг} $

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с данными задачи), получаем:

$ m \approx 0,0032 \text{ кг} = 3,2 \text{ г} $

Ответ: $m \approx 3,2 \text{ г}$.