Номер 15.21, страница 98 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 15. Магнитное поле. Сила Лоренца - номер 15.21, страница 98.

Условие.

15.21* Металлическую полоску, по которой течет ток $\text{I}$, помещают в однородное магнитное поле с индукцией $\text{B}$ (см. рисунок). При этом между точками A и C возникает разность потенциалов (эффект Холла). Объясните это явление. Найдите разность потенциалов $U_{AC}$, если $AC = a$, $AD = b$. Концентрация свободных электронов равна $\text{n}$.

К задаче 15.21

Решение.

Решение 2.

Объяснение явления (эффекта Холла)

Электрический ток $\text{I}$ в металлической полоске представляет собой упорядоченное движение свободных электронов. Направление движения электронов противоположно направлению тока, указанному на рисунке. Когда полоска помещается в магнитное поле с индукцией $\vec{B}$, на каждый движущийся электрон со скоростью $\vec{v}$ начинает действовать сила Лоренца $\vec{F_L} = q(\vec{v} \times \vec{B})$, где $q = -e$ - заряд электрона.

Согласно правилу левой руки (для отрицательно заряженных частиц), сила Лоренца будет направлена перпендикулярно и скорости электронов, и вектору магнитной индукции. В данном случае, вектор скорости $\vec{v}$ направлен против вектора тока $\vec{I}$, а вектор индукции $\vec{B}$ направлен вверх. Сила Лоренца будет отклонять электроны к грани, содержащей точку C.

В результате этого отклонения на грани с точкой C накапливается избыточный отрицательный заряд, а на противоположной грани (с точкой A) возникает нескомпенсированный положительный заряд (недостаток электронов). Это разделение зарядов создает поперечное электрическое поле, называемое полем Холла $\vec{E_H}$, направленное от положительно заряженной грани A к отрицательно заряженной грани C.

Это поле, в свою очередь, создает электрическую силу $\vec{F_E} = q\vec{E_H} = -e\vec{E_H}$, действующую на электроны в направлении, противоположном $\vec{E_H}$ (то есть от C к A). Накопление заряда на гранях продолжается до тех пор, пока электрическая сила $\vec{F_E}$ не уравновесит магнитную силу Лоренца $\vec{F_L}$.

В установившемся режиме суммарная поперечная сила, действующая на электроны, становится равной нулю, и они перестают отклоняться, двигаясь вдоль полоски. Возникшее поперечное электрическое поле и обуславливает появление разности потенциалов $U_{AC} = \phi_A - \phi_C$ между точками A и C, которая называется напряжением Холла. Так как поле $\vec{E_H}$ направлено от A к C, потенциал в точке A выше, чем в точке C.

Ответ: Эффект Холла заключается в возникновении поперечной разности потенциалов в проводнике с током, помещенном в магнитное поле. Это явление обусловлено действием силы Лоренца на носители заряда (электроны), что приводит к их смещению к одной из граней проводника, созданию поперечного электрического поля и, как следствие, разности потенциалов.

Нахождение разности потенциалов U_AC

Дано:

Сила тока: $\text{I}$
Индукция магнитного поля: $\text{B}$
Ширина полоски: $AC = a$
Толщина полоски: $AD = b$
Концентрация свободных электронов: $\text{n}$
Элементарный заряд: $\text{e}$

Найти:

Разность потенциалов $U_{AC}$

Решение:
В установившемся состоянии, когда электроны движутся вдоль полоски без отклонения, магнитная сила Лоренца $F_L$, действующая на них, уравновешивается электрической силой $F_E$ со стороны холловского поля $E_H$.

$F_L = F_E$

Магнитная и электрическая силы, действующие на электрон, равны по модулю:

$evB = eE_H$

где $\text{v}$ – дрейфовая скорость электронов. Отсюда напряженность холловского поля:

$E_H = vB$

Разность потенциалов (напряжение Холла) между точками A и C связана с напряженностью поля $E_H$ и расстоянием $\text{a}$ между этими точками:

$U_{AC} = E_H \cdot a = vBa$

Дрейфовую скорость электронов $\text{v}$ можно выразить через силу тока $\text{I}$. Сила тока определяется как $I = jS$, где $\text{j}$ – плотность тока, а $\text{S}$ – площадь поперечного сечения проводника. Плотность тока равна $j = nev$. Площадь поперечного сечения полоски, перпендикулярная току, равна $S = AC \cdot AD = ab$.

Следовательно, сила тока:

$I = nevS = nev(ab)$

Отсюда выразим дрейфовую скорость:

$v = \frac{I}{neab}$

Подставим это выражение для скорости в формулу для разности потенциалов $U_{AC}$:

$U_{AC} = \left(\frac{I}{neab}\right) B a = \frac{IBa}{neab}$

Сократив на $\text{a}$, получаем окончательное выражение:

$U_{AC} = \frac{IB}{neb}$

Ответ: $U_{AC} = \frac{IB}{neb}$