Номер 15.8, страница 96 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 15. Магнитное поле. Сила Лоренца - номер 15.8, страница 96.

Условие.

15.8**. Проводники 1 и 2 лежат в плоскости, перпендикулярной однородному магнитному полю (см. рисунок). По проводникам текут одинаковые токи. Докажите, что на проводники действуют одинаковые (по модулю и направлению) силы Ампера.

Решение.

Решение 2.

Решение

Сила Ампера, действующая на малый элемент проводника $d\vec{l}$ с током $\text{I}$ в магнитном поле с индукцией $\vec{B}$, определяется по формуле:

$d\vec{F} = I (d\vec{l} \times \vec{B})$

Чтобы найти полную силу, действующую на весь проводник, необходимо проинтегрировать это выражение по всей длине проводника от начальной точки $A_1$ до конечной точки $A_2$:

$\vec{F} = \int_{A_1}^{A_2} I (d\vec{l} \times \vec{B})$

По условию задачи, магнитное поле $\vec{B}$ является однородным (то есть $\vec{B} = \text{const}$), а сила тока $\text{I}$ постоянна вдоль проводника. Следовательно, эти величины можно вынести за знак интеграла:

$\vec{F} = I \left( \left( \int_{A_1}^{A_2} d\vec{l} \right) \times \vec{B} \right)$

Интеграл $\int_{A_1}^{A_2} d\vec{l}$ представляет собой векторную сумму всех элементарных векторов $d\vec{l}$ вдоль контура проводника. Эта сумма равна вектору $\vec{L}$, соединяющему начальную и конечную точки проводника, то есть $\vec{L} = \vec{A_1A_2}$. Таким образом, формула для силы Ампера, действующей на проводник произвольной формы в однородном магнитном поле, принимает вид:

$\vec{F} = I (\vec{L} \times \vec{B})$

Эта формула показывает, что сила Ампера в данном случае зависит не от формы проводника, а только от силы тока, индукции магнитного поля и вектора, соединяющего начальную и конечную точки проводника.

Рассмотрим оба проводника:

1. Для проводника 1 (прямолинейного) ток течет от точки $A_1$ к точке $A_2$. Вектор, соединяющий начальную и конечную точки, равен $\vec{A_1A_2}$. Сила, действующая на него:

$\vec{F}_1 = I (\vec{A_1A_2} \times \vec{B})$

2. Для проводника 2 (криволинейного) ток также течет от точки $A_1$ к точке $A_2$. Вектор, соединяющий начальную и конечную точки, точно такой же: $\vec{A_1A_2}$. Сила, действующая на него:

$\vec{F}_2 = I (\vec{A_1A_2} \times \vec{B})$

Сравнивая выражения для $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$, мы видим, что они полностью совпадают. Следовательно, $\vec{F}_1 = \vec{F}_2$. Это означает, что силы Ампера, действующие на проводники 1 и 2, равны как по модулю, так и по направлению.

Ответ:

Поскольку сила Ампера, действующая на проводник с током в однородном магнитном поле, определяется только вектором, соединяющим его начальную и конечную точки, а не его формой, и так как для обоих проводников этот вектор ($\vec{A_1A_2}$), сила тока ($\text{I}$) и вектор магнитной индукции ($\vec{B}$) одинаковы, то и результирующие силы Ампера, действующие на них, равны по модулю и направлению. Что и требовалось доказать.