Номер 15.3, страница 95 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 15. Магнитное поле. Сила Лоренца - номер 15.3, страница 95.

Условие.

15.3. Источник тока подключен к противоположным (лежащим на одной пространственной диагонали) вершинам проволочного куба. Докажите, что магнитная индукция поля в центре куба равна нулю.

Решение.

Решение 2.

Решение

Рассмотрим проволочный куб, ребра которого сделаны из одинакового материала и имеют одинаковое сечение. Источник тока подключен к двум противоположным вершинам, лежащим на одной пространственной диагонали. Обозначим общий ток, протекающий через систему, как $\text{I}$.

1. Распределение токов в ребрах куба

В силу полной симметрии куба относительно главной диагонали, ток, входящий в одну вершину (узел A), разделится поровну на три выходящих из нее ребра. Ток в каждом из этих ребер будет равен $I_1 = I/3$.

На следующем шаге, в каждой из трех вершин, в которые пришел ток $I_1$, он снова разделится поровну на два ребра, поскольку все дальнейшие пути до выходной вершины (узел G) эквивалентны. Таким образом, ток в следующих шести ребрах куба будет равен $I_2 = I_1 / 2 = (I/3)/2 = I/6$.

Далее, по два ребра с током $I_2$ сходятся в каждой из трех вершин, примыкающих к выходному узлу G. Токи в них складываются. Следовательно, по трем ребрам, ведущим к узлу G, потечет ток $I_3 = 2 \cdot I_2 = 2 \cdot (I/6) = I/3$.

В узле G три потока тока $I_3$ объединяются, образуя исходный ток $I = 3 \cdot I_3 = I$, который возвращается в источник.

2. Вычисление магнитной индукции в центре куба

По принципу суперпозиции, результирующий вектор магнитной индукции $\vec{B}$ в центре куба равен векторной сумме векторов индукции $\vec{B_i}$, создаваемых токами в каждом из 12 ребер:

$\vec{B} = \sum_{i=1}^{12} \vec{B_i}$

Для вычисления этой суммы воспользуемся симметрией задачи. Разобьем все 12 ребер куба на 6 пар противоположных (центрально-симметричных) ребер. Проанализировав схему распределения токов, можно сделать ключевой вывод: в любой паре противоположных ребер токи равны по величине и текут в одном направлении.

Рассмотрим одну такую пару противоположных ребер и их вклад в магнитное поле в центре куба (который мы поместим в начало координат). Согласно закону Био-Савара-Лапласа, элемент тока $i \cdot d\vec{l}$, находящийся в точке с радиус-вектором $\vec{r}$, создает в начале координат поле:

$d\vec{B} = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \frac{[d\vec{l} \times (-\vec{r})]}{r^3} = -\frac{\mu_0 i}{4\pi} \frac{[d\vec{l} \times \vec{r}]}{r^3}$

Рассмотрим соответствующий ему центрально-симметричный элемент тока $i' \cdot d\vec{l}'$ на противоположном ребре. Его радиус-вектор будет $\vec{r}' = -\vec{r}$. Как мы установили, ток $i' = i$, а элемент длины сонаправлен и равен первому, то есть $d\vec{l}' = d\vec{l}$. Поле, создаваемое этим вторым элементом, равно:

$d\vec{B}' = \frac{\mu_0 i'}{4\pi} \frac{[d\vec{l}' \times (-\vec{r}')]}{|\vec{r}'|^3} = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \frac{[d\vec{l} \times (-(-\vec{r}))]}{|-\vec{r}|^3} = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \frac{[d\vec{l} \times \vec{r}]}{r^3}$

Суммарное поле от этой пары симметричных элементов тока равно:

$d\vec{B}_{пара} = d\vec{B} + d\vec{B}' = -\frac{\mu_0 i}{4\pi} \frac{[d\vec{l} \times \vec{r}]}{r^3} + \frac{\mu_0 i}{4\pi} \frac{[d\vec{l} \times \vec{r}]}{r^3} = 0$

Поскольку это равенство справедливо для любой пары центрально-симметричных элементов на двух противоположных ребрах, то и суммарное поле от всей пары ребер равно нулю. Так как все 12 ребер куба можно разбить на 6 таких пар, вклад каждой из которых в результирующее поле равен нулю, то и общая магнитная индукция в центре куба равна нулю.

Ответ: Магнитная индукция поля в центре куба равна нулю. Это доказывается с помощью принципа суперпозиции и симметрии. Из-за симметрии подключения источника тока к пространственной диагонали куба, токи в любых двух противоположных ребрах равны по величине и сонаправлены. Согласно закону Био-Савара-Лапласа, такая пара ребер создает в центре куба два вектора магнитной индукции, которые равны по модулю, но противоположны по направлению, и их векторная сумма равна нулю. Поскольку все 12 ребер куба разбиваются на 6 таких пар, результирующее поле в центре равно нулю.