Номер 14.18, страница 94 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 14. Электрический ток в различных средах - номер 14.18, страница 94.

Условие.

14.18*. Какой наименьшей кинетической энергией $W_k$ и скоростью $\text{v}$ должен обладать ион неона, чтобы при столкновении его с неподвижным нейтральным атомом неона могла произойти ионизация атома*)?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Ион неона ($Ne^+$) сталкивается с неподвижным нейтральным атомом неона ($\text{Ne}$).

Энергия ионизации атома неона (справочное значение): $W_i = 21.56 \text{ эВ}$

Молярная масса неона: $M = 20.18 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Число Авогадро: $N_A = 6.022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Перевод в систему СИ:

$W_i = 21.56 \text{ эВ} \times 1.602 \times 10^{-19} \text{ Дж/эВ} \approx 3.454 \times 10^{-18} \text{ Дж}$

Масса атома (и иона) неона: $m = \frac{M}{N_A} = \frac{20.18 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}}{6.022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 3.35 \times 10^{-26} \text{ кг}$

Найти:

$W_k$ — наименьшая кинетическая энергия иона.

$\text{v}$ — наименьшая скорость иона.

Решение:

Рассмотрим столкновение иона неона с неподвижным атомом неона. Массы иона и атома можно считать одинаковыми и равными $\text{m}$. Пусть начальная скорость иона равна $\text{v}$, а его кинетическая энергия $W_k = \frac{1}{2}mv^2$. Атом покоится.

Для того чтобы произошла ионизация, часть начальной кинетической энергии должна перейти во внутреннюю энергию системы, равную энергии ионизации $W_i$. Наименьшая начальная кинетическая энергия $W_k$ соответствует пороговому случаю, когда после столкновения частицы (два образовавшихся иона) движутся вместе как единое целое. Такое столкновение является абсолютно неупругим. При этом кинетической энергией вылетевшего электрона можно пренебречь.

Запишем законы сохранения импульса и энергии для этого процесса.

1. Закон сохранения импульса.

Импульс системы до столкновения: $p_{до} = m v$.

После столкновения два иона с общей массой $\text{2m}$ движутся с некоторой скоростью $\text{u}$. Импульс системы после столкновения: $p_{после} = (m+m)u = 2mu$.

Из закона сохранения импульса $p_{до} = p_{после}$:

$mv = 2mu$

Отсюда находим скорость частиц после столкновения:

$u = \frac{v}{2}$

2. Закон сохранения энергии.

Энергия системы до столкновения — это кинетическая энергия налетающего иона:

$E_{до} = W_k = \frac{1}{2}mv^2$

Энергия системы после столкновения складывается из кинетической энергии двух ионов, движущихся вместе, и энергии, затраченной на ионизацию атома $W_i$:

$E_{после} = \frac{1}{2}(2m)u^2 + W_i = mu^2 + W_i$

Подставим в это выражение найденную скорость $u = v/2$:

$E_{после} = m(\frac{v}{2})^2 + W_i = \frac{1}{4}mv^2 + W_i$

Согласно закону сохранения энергии $E_{до} = E_{после}$:

$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2 + W_i$

Преобразуем уравнение:

$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{4}mv^2 = W_i \implies \frac{1}{4}mv^2 = W_i$

Так как начальная кинетическая энергия $W_k = \frac{1}{2}mv^2$, то можно записать:

$\frac{1}{2} W_k = W_i \implies W_k = 2W_i$

Таким образом, наименьшая кинетическая энергия, которой должен обладать ион, в два раза больше энергии ионизации атома.

Вычислим численные значения.

Наименьшая кинетическая энергия иона:

$W_k = 2 \times 21.56 \text{ эВ} = 43.12 \text{ эВ}$

Переведем энергию в джоули для расчета скорости:

$W_k = 43.12 \text{ эВ} \times 1.602 \times 10^{-19} \text{ Дж/эВ} \approx 6.908 \times 10^{-18} \text{ Дж}$

Теперь найдем наименьшую скорость иона из формулы кинетической энергии:

$W_k = \frac{1}{2}mv^2 \implies v = \sqrt{\frac{2W_k}{m}}$

$v = \sqrt{\frac{2 \times 6.908 \times 10^{-18} \text{ Дж}}{3.35 \times 10^{-26} \text{ кг}}} \approx \sqrt{4.124 \times 10^8} \text{ м/с} \approx 2.03 \times 10^4 \text{ м/с}$

Ответ: Наименьшая кинетическая энергия иона $W_k = 43.12 \text{ эВ}$, наименьшая скорость $v \approx 2.03 \times 10^4 \text{ м/с}$.