Номер 14.17, страница 94 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 14. Электрический ток в различных средах - номер 14.17, страница 94.

Условие.

14.17. Какой наименьшей кинетической энергией $W_k$ и скоростью $\text{v}$ должен обладать электрон, чтобы он мог ионизировать неподвижный атом неона*)?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Атом неона (Ne) в начальный момент времени неподвижен.
$m_e$ — масса электрона
$M_{Ne}$ — масса атома неона
$W_i$ — энергия ионизации атома неона

Справочные данные:

$m_e \approx 9,11 \times 10^{-31}$ кг
$M_{Ne}$ (молярная масса 20,18 г/моль)
$W_i$ (первая энергия ионизации неона) $\approx 21,56$ эВ

Перевод в систему СИ:

Масса одного атома неона: $M_{Ne} = \frac{20,18 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}}{6,022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 3,35 \times 10^{-26}$ кг
Энергия ионизации в джоулях: $W_i = 21,56 \text{ эВ} \times 1,602 \times 10^{-19} \text{ Дж/эВ} \approx 3,454 \times 10^{-18}$ Дж

Найти:

$W_k$ — наименьшая кинетическая энергия электрона
$\text{v}$ — наименьшая скорость электрона

Решение:

Процесс ионизации атома неона при столкновении с электроном является неупругим ударом, так как часть начальной кинетической энергии системы идет на совершение работы против сил притяжения ядра — на ионизацию атома. Для системы "электрон + атом неона" справедливы законы сохранения импульса и энергии.

Пусть $\text{v}$ — начальная скорость электрона, а $W_k = \frac{1}{2}m_e v^2$ — его начальная кинетическая энергия. Атом неона изначально покоится.

Запишем закон сохранения импульса. Начальный импульс системы равен импульсу электрона $p_{нач} = m_e v$. Чтобы начальная кинетическая энергия была наименьшей, после столкновения ион неона ($Ne^+$) и налетавший электрон должны двигаться вместе как единое целое (абсолютно неупругий удар). Массу выбитого электрона при расчете конечного импульса можно не учитывать, но для общности будем считать, что вся система (ион + 2 электрона) движется с единой скоростью $\text{u}$. Тогда масса конечной системы равна $M_{Ne} + m_e$.

Закон сохранения импульса:

$m_e v = (M_{Ne} + m_e) u$

Закон сохранения энергии. Начальная энергия системы равна кинетической энергии электрона $W_k$. Конечная энергия складывается из кинетической энергии объединенной системы и энергии, затраченной на ионизацию $W_i$.

$\frac{1}{2}m_e v^2 = \frac{1}{2}(M_{Ne} + m_e)u^2 + W_i$

Из закона сохранения импульса выразим скорость $\text{u}$:

$u = \frac{m_e v}{M_{Ne} + m_e}$

Подставим $\text{u}$ в уравнение закона сохранения энергии:

$W_k = \frac{1}{2}(M_{Ne} + m_e)\left(\frac{m_e v}{M_{Ne} + m_e}\right)^2 + W_i$

$W_k = \frac{1}{2}\frac{m_e^2 v^2}{M_{Ne} + m_e} + W_i$

Заменим в правой части $\frac{1}{2}m_e v^2$ на $W_k$. Для этого умножим и разделим на $m_e$:

$W_k = \frac{m_e}{M_{Ne} + m_e} \left( \frac{1}{2}m_e v^2 \right) + W_i$

$W_k = \frac{m_e}{M_{Ne} + m_e} W_k + W_i$

Теперь выразим $W_k$:

$W_k \left(1 - \frac{m_e}{M_{Ne} + m_e}\right) = W_i$

$W_k \left(\frac{M_{Ne} + m_e - m_e}{M_{Ne} + m_e}\right) = W_i$

$W_k \frac{M_{Ne}}{M_{Ne} + m_e} = W_i$

$W_k = W_i \frac{M_{Ne} + m_e}{M_{Ne}} = W_i \left(1 + \frac{m_e}{M_{Ne}}\right)$

Эта формула показывает, что наименьшая кинетическая энергия электрона должна быть больше энергии ионизации, так как часть энергии необходима для сохранения импульса системы (уходит в кинетическую энергию иона неона).

Подставим числовые значения для расчета $W_k$:

$W_k = 3,454 \times 10^{-18} \text{ Дж} \times \left(1 + \frac{9,11 \times 10^{-31} \text{ кг}}{3,35 \times 10^{-26} \text{ кг}}\right)$

$W_k \approx 3,454 \times 10^{-18} \times (1 + 2,72 \times 10^{-5}) \approx 3,45409 \times 10^{-18}$ Дж

Как видно, поправка $\frac{m_e}{M_{Ne}}$ очень мала, поэтому $W_k \approx W_i$. Округляя до трех значащих цифр, получаем:

$W_k \approx 3,45 \times 10^{-18}$ Дж.

В электронвольтах это составляет:

$W_k = 21,56 \text{ эВ} \times \left(1 + \frac{9,11 \times 10^{-31}}{3,35 \times 10^{-26}}\right) \approx 21,56 \times 1,0000272 \approx 21,5606$ эВ.

Теперь найдем наименьшую скорость электрона $\text{v}$ из формулы для кинетической энергии:

$v = \sqrt{\frac{2 W_k}{m_e}}$

Используем вычисленное значение $W_k$ для большей точности:

$v = \sqrt{\frac{2 \times 3,45409 \times 10^{-18} \text{ Дж}}{9,11 \times 10^{-31} \text{ кг}}} \approx \sqrt{7,583 \times 10^{12} \text{ м}^2/\text{с}^2} \approx 2,75 \times 10^6$ м/с.

Ответ: Наименьшая кинетическая энергия электрона $W_k \approx 3,45 \times 10^{-18}$ Дж (или $21,56$ эВ), наименьшая скорость $v \approx 2,75 \times 10^6$ м/с.