Номер 15.9, страница 96 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 15. Магнитное поле. Сила Лоренца - номер 15.9, страница 96.

Условие.

15.9*. По жесткому кольцу из медной проволоки течет ток силой $I = 5,0$ А. Кольцо находится в перпендикулярном к его плоскости магнитном поле с индукцией $B = 0,50$ Тл. Найдите растягивающее механическое напряжение $\sigma$ в проволоке, если радиус кольца $R = 5,0$ см, а площадь сечения проволоки $S = 3,0 \text{ мм}^2$. Магнитным взаимодействием между различными участками кольца можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Сила тока $I = 5,0$ А
Магнитная индукция $B = 0,50$ Тл
Радиус кольца $R = 5,0$ см
Площадь сечения проволоки $S = 3,0$ мм²

$R = 5,0 \text{ см} = 5,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}$
$S = 3,0 \text{ мм}^2 = 3,0 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 3,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

Найти:

Механическое напряжение $\sigma$

Решение:

На каждый элемент кольца с током в магнитном поле действует сила Ампера. Так как магнитное поле перпендикулярно плоскости кольца, а ток течет по касательной, сила Ампера $d\vec{F}$ будет направлена радиально от центра кольца. Величина этой силы для элемента длины $\text{dl}$ равна $dF = I B dl$. Эта сила вызывает растяжение кольца.

Для нахождения силы натяжения $\text{T}$ в проволоке рассмотрим равновесие половины кольца. Суммарная сила Ампера $F_A$, действующая на полукольцо, стремится его разорвать. Эта сила уравновешивается двумя силами натяжения $\text{T}$, действующими в точках поперечного сечения кольца на его концах. Таким образом, из условия равновесия следует, что $F_A = 2T$.

Найдем результирующую силу Ампера $F_A$, действующую на полукольцо. Для этого проинтегрируем проекции элементарных сил Ампера на направление, перпендикулярное диаметру, соединяющему концы полукольца.

Рассмотрим элемент дуги $dl = R d\alpha$, где $\alpha$ - угол, отсчитываемый от диаметра. Сила, действующая на этот элемент, равна $dF = I B R d\alpha$. Ее проекция на ось симметрии полукольца (ось Y) равна $dF_y = dF \sin\alpha = I B R \sin\alpha d\alpha$.

Полная сила $F_A$, действующая на полукольцо, равна интегралу от этой проекции по всей длине полукольца (угол $\alpha$ меняется от $\text{0}$ до $\pi$):

$F_A = \int_{0}^{\pi} I B R \sin\alpha \,d\alpha = I B R \int_{0}^{\pi} \sin\alpha \,d\alpha = I B R [-\cos\alpha]_{0}^{\pi}$

$F_A = I B R (-\cos\pi - (-\cos0)) = I B R (-(-1) - (-1)) = 2IBR$

Из условия равновесия $F_A = 2T$ получаем:

$2IBR = 2T$

Отсюда сила натяжения в проволоке:

$T = IBR$

Растягивающее механическое напряжение $\sigma$ по определению равно отношению силы натяжения $\text{T}$ к площади поперечного сечения проволоки $\text{S}$:

$\sigma = \frac{T}{S} = \frac{IBR}{S}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\sigma = \frac{5,0 \text{ А} \cdot 0,50 \text{ Тл} \cdot 5,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}}{3,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2} = \frac{0,125 \text{ Н}}{3,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2} \approx 41667 \text{ Па}$

Округляя результат до двух значащих цифр, как в исходных данных, получаем:

$\sigma \approx 4,2 \cdot 10^4 \text{ Па} = 42 \text{ кПа}$

Ответ: $\sigma \approx 4,2 \cdot 10^4 \text{ Па}$.