Номер 18.17, страница 113 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 18. Законы геометрической оптики - номер 18.17, страница 113.

Условие.

18.17*. Сколько изображений предмета AB (см. рисунок) дают зеркала, расположенные под углом $60^\circ$? Где находятся эти изображения?

К задаче 18.17

Решение.

Решение 2.

Дано:

Угол между двумя плоскими зеркалами $\alpha = 60^\circ$.

Найти:

Количество изображений предмета $\text{N}$ и их расположение.

Решение:

Сколько изображений предмета AB дают зеркала, расположенные под углом 60°?

Число изображений $\text{N}$, даваемых двумя плоскими зеркалами, расположенными под углом $\alpha$ друг к другу, можно найти по общей формуле для случая, когда частное от деления $360^\circ$ на $\alpha$ является целым четным числом:

$N = \frac{360^\circ}{\alpha} - 1$

В данном случае $\alpha = 60^\circ$, и частное равно $\frac{360^\circ}{60^\circ} = 6$. Так как 6 — это четное число, формула применима.

Подставим значение угла в формулу:

$N = 6 - 1 = 5$

Таким образом, система из двух зеркал, расположенных под углом $60^\circ$, дает 5 изображений предмета.

Ответ: 5 изображений.

Где находятся эти изображения?

Расположение изображений можно определить, рассмотрев последовательные отражения предмета в зеркалах. Точка пересечения зеркал (вершина угла) является центром симметрии для всей системы, состоящей из предмета и его изображений.

Все изображения любой точки предмета (например, точки A) лежат на окружности с центром в вершине угла O и радиусом, равным расстоянию от вершины до этой точки (OA). Аналогично, все изображения точки B лежат на другой окружности с радиусом OB.

Предмет и его 5 изображений располагаются в шести смежных угловых секторах по $60^\circ$, которые вместе составляют полный круг ($360^\circ$) вокруг вершины O. Одно из этих изображений (пятое) является результатом многократных отражений и оказывается в одном и том же месте независимо от последовательности отражений.

Обозначим горизонтальное зеркало как M1, а наклонное — как M2. Тогда изображения формируются следующим образом:

Изображение 1: получается в результате отражения предмета AB в зеркале M1.

Изображение 2: получается в результате отражения предмета AB в зеркале M2.

Изображение 3: является отражением изображения 1 в зеркале M2.

Изображение 4: является отражением изображения 2 в зеркале M1.

Изображение 5: является отражением изображения 3 в зеркале M1. Это же изображение можно получить, отразив изображение 4 в зеркале M2, то есть эти два пути построения приводят к одному и тому же изображению.

Вместе предмет и его пять изображений образуют симметричный узор, который можно наблюдать в калейдоскопе с таким же углом между зеркалами.

Ответ: Изображения располагаются на окружностях с центром в точке пересечения зеркал. Вместе с предметом они занимают шесть секторов по $60^\circ$, образуя симметричный узор вокруг центра. Каждое изображение является результатом одного или нескольких последовательных отражений в зеркалах.