Номер 18.21, страница 113 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 18. Законы геометрической оптики - номер 18.21, страница 113.

Условие.

18.21. Угол падения света на стеклянную плоскопараллельную пластинку $ \alpha = 60^\circ $. Пройдя сквозь пластинку, луч сместился на $ a = 15 $ мм. Какова толщина $ h $ пластинки?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Угол падения света, $\alpha = 60^\circ$

Смещение луча, $a = 15$ мм

Перевод в систему СИ:
$a = 15 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.015 \text{ м}$

Найти:

Толщина пластинки, $h - ?$

Решение:

При прохождении света через плоскопараллельную пластинку из воздуха в стекло луч преломляется на границе раздела двух сред. Затем, на выходе из пластинки, он снова преломляется и выходит параллельно своему первоначальному направлению, но со смещением $\text{a}$ относительно него.

Показатель преломления воздуха примем равным $n_1 = 1$. Показатель преломления стекла (если не указан) примем за стандартное значение $n_2 = n = 1.5$.

1. По закону преломления света (закону Снеллиуса) для первой границы (воздух-стекло):

$n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$

где $\beta$ — угол преломления света в стекле. Выразим синус угла преломления:

$\sin\beta = \frac{n_1}{n_2}\sin\alpha = \frac{1}{1.5}\sin60^\circ = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$

2. Рассмотрим геометрию прохождения луча внутри пластинки. Пусть луч проходит внутри пластинки путь длиной $\text{L}$. Этот путь является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, одним из катетов которого является толщина пластинки $\text{h}$. Угол, прилежащий к этому катету, равен $\beta$. Таким образом:

$\cos\beta = \frac{h}{L} \implies L = \frac{h}{\cos\beta}$

3. Смещение луча $\text{a}$ является катетом в другом прямоугольном треугольнике, гипотенузой которого является путь $\text{L}$. Противолежащий этому катету угол равен разности углов падения и преломления, то есть $(\alpha - \beta)$. Следовательно:

$a = L \sin(\alpha - \beta)$

4. Подставим выражение для $\text{L}$ из шага 2 в формулу из шага 3:

$a = \frac{h}{\cos\beta} \sin(\alpha - \beta)$

Отсюда выразим искомую толщину пластинки $\text{h}$:

$h = \frac{a \cos\beta}{\sin(\alpha - \beta)}$

5. Для вычислений нам понадобятся значения $\cos\beta$ и $\sin(\alpha - \beta)$.

Найдем $\cos\beta$ из основного тригонометрического тождества:

$\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{9}} = \sqrt{\frac{6}{9}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0.8165$

Найдем угол $\beta$:

$\beta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \approx 35.26^\circ$

Тогда разность углов:

$\alpha - \beta = 60^\circ - 35.26^\circ = 24.74^\circ$

6. Подставим все численные значения в формулу для $\text{h}$:

$h = \frac{15 \text{ мм} \cdot \cos(35.26^\circ)}{\sin(24.74^\circ)} \approx \frac{15 \text{ мм} \cdot 0.8165}{0.4185} \approx \frac{12.2475}{0.4185} \text{ мм} \approx 29.265 \text{ мм}$

Округляя, получаем $h \approx 29.3$ мм.

Ответ: толщина пластинки $\text{h}$ составляет приблизительно 29.3 мм.