Номер 18.26, страница 114 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 18. Законы геометрической оптики - номер 18.26, страница 114.

Условие.

18.26. Прямоугольный плот длиной $a = 5$ м и шириной $b = 2,5$ м плавает в открытом бассейне глубиной $h = 1$ м. Каковы размеры тени на дне бассейна в солнечный день? Когда все небо затянуто тучами?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Длина плота: $a = 5$ м

Ширина плота: $b = 2,5$ м

Глубина бассейна: $h = 1$ м

Показатель преломления воды (принят): $n_{воды} \approx 4/3$

Показатель преломления воздуха (принят): $n_{возд} = 1$

Найти:

Размеры тени на дне бассейна в солнечный день ($a_1, b_1$) и когда небо затянуто тучами ($a_2, b_2$).

Решение:

Задача рассматривает два различных условия освещения, которые приводят к разным размерам тени.

Каковы размеры тени на дне бассейна в солнечный день?

В солнечный день, из-за огромного расстояния до Солнца, его лучи можно считать параллельным пучком. Когда параллельные лучи света проходят через границу раздела двух сред (воздух-вода), они преломляются, изменяя свое направление. Однако все лучи преломляются под одинаковым углом. В результате вся тень от плота смещается в сторону, но ее линейные размеры не изменяются. Проекция плота на дно сохраняет те же размеры, что и сам плот.

Следовательно, длина и ширина тени будут равны длине и ширине плота:

Длина тени: $a_1 = a = 5$ м.

Ширина тени: $b_1 = b = 2,5$ м.

Ответ: В солнечный день размеры тени на дне бассейна равны размерам плота, то есть 5 м × 2,5 м.

Когда все небо затянуто тучами?

В пасмурный день источником света является вся небесная сфера, то есть свет падает на поверхность воды рассеянно, со всех возможных направлений. В этом случае тень на дне будет больше размеров плота и будет иметь размытые края (полутень). Полный размер тени (область, куда не попадает свет хотя бы с части неба) определяется крайними лучами, идущими от горизонта.

Лучи от горизонта падают на поверхность воды под углом $\theta_i = 90^\circ$ к нормали. После преломления в воде они распространяются под предельным углом $\theta_c$. Связь между этими углами дается законом Снеллиуса:

$n_{возд} \sin \theta_i = n_{воды} \sin \theta_c$

Подставляя известные значения ($n_{возд} = 1$, $\sin(90^\circ) = 1$ и $n_{воды} = 4/3$), получаем:

$1 \cdot 1 = \frac{4}{3} \sin \theta_c$

Отсюда находим синус предельного угла:

$\sin \theta_c = \frac{3}{4}$

Тень от каждого края плота "размывается" на расстояние $\text{x}$, которое можно найти из геометрии: $x = h \tan \theta_c$. Вычислим тангенс предельного угла:

$\tan \theta_c = \frac{\sin \theta_c}{\cos \theta_c} = \frac{\sin \theta_c}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta_c}} = \frac{3/4}{\sqrt{1 - (3/4)^2}} = \frac{3/4}{\sqrt{1 - 9/16}} = \frac{3/4}{\sqrt{7/16}} = \frac{3}{\sqrt{7}}$

Поскольку тень расширяется в обе стороны по каждому измерению, к длине и ширине плота нужно добавить $\text{2x}$. Новые размеры тени ($a_2$ и $b_2$) вычисляются по формулам:

$a_2 = a + 2h \tan \theta_c$

$b_2 = b + 2h \tan \theta_c$

Подставим числовые значения:

$a_2 = 5 + 2 \cdot 1 \cdot \frac{3}{\sqrt{7}} = 5 + \frac{6}{\sqrt{7}} \approx 5 + 2,27 = 7,27$ м

$b_2 = 2,5 + 2 \cdot 1 \cdot \frac{3}{\sqrt{7}} = 2,5 + \frac{6}{\sqrt{7}} \approx 2,5 + 2,27 = 4,77$ м

Округлим до одного знака после запятой.

Ответ: Когда все небо затянуто тучами, размеры тени на дне бассейна будут приблизительно 7,3 м × 4,8 м.