Номер 18.32, страница 114 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 18. Законы геометрической оптики - номер 18.32, страница 114.

Условие.

18.32* На боковую грань равнобедренной призмы падает луч, идущий параллельно основанию призмы. При каком условии луч, пройдя призму, не изменит своего направления?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Равнобедренная призма с преломляющим углом $\alpha$ и показателем преломления $\text{n}$.

Падающий луч параллелен основанию призмы.

Вышедший из призмы луч параллелен падающему.

Найти:

Условие (связь между $\text{n}$ и $\alpha$), при котором это возможно.

Решение:

Пусть поперечное сечение равнобедренной призмы представляет собой равнобедренный треугольник с углом при вершине $\alpha$ и углами при основании $\beta$. Из геометрии треугольника известно, что $\alpha + 2\beta = 180^\circ$, откуда $\beta = 90^\circ - \alpha/2$.

Луч света падает на боковую грань призмы параллельно ее основанию. Найдем угол падения $\theta_1$. Угол между падающим лучом (параллельным основанию) и боковой гранью равен углу при основании призмы $\beta$. Угол падения $\theta_1$ — это угол между лучом и нормалью к грани. Следовательно, $\theta_1 = 90^\circ - \beta$. Подставив выражение для $\beta$, получим:

$\theta_1 = 90^\circ - (90^\circ - \alpha/2) = \alpha/2$.

Условие, что луч, пройдя призму, не изменит своего направления, означает, что вышедший луч параллелен падающему. Это эквивалентно тому, что полный угол отклонения луча призмой равен нулю, $\delta = 0$.

Рассмотрим два возможных пути луча через призму:

1. Луч выходит через вторую боковую грань.

Общая формула для угла отклонения луча призмой: $\delta = \theta_1 + \theta_4 - \alpha$, где $\theta_4$ — угол выхода луча из второй грани. При $\delta = 0$ имеем $\theta_1 + \theta_4 = \alpha$.

Так как мы нашли, что $\theta_1 = \alpha/2$, то условие принимает вид $\alpha/2 + \theta_4 = \alpha$, откуда $\theta_4 = \alpha/2$.

Равенство углов падения и выхода ($\theta_1 = \theta_4$) соответствует случаю симметричного хода луча в призме, при котором угол отклонения минимален. Формула, связывающая показатель преломления, преломляющий угол и угол минимального отклонения $\delta_{min}$:

$n = \frac{\sin\left(\frac{\alpha + \delta_{min}}{2}\right)}{\sin(\alpha/2)}$

В нашем случае $\delta = \delta_{min} = 0$. Подставляя это значение в формулу, получаем:

$n = \frac{\sin(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} = 1$

Этот результат означает, что показатель преломления призмы равен показателю преломления окружающей среды. В таком случае призма не преломляет свет, что противоречит условию задачи. Следовательно, выход луча через вторую боковую грань без изменения направления невозможен.

2. Луч выходит через основание призмы.

Это единственная оставшаяся возможность. Луч падает на боковую грань под углом $\theta_1 = \alpha/2$ и преломляется внутрь призмы под углом $\theta_2$. По закону Снеллиуса:

$\sin(\theta_1) = n \sin(\theta_2) \implies \sin(\alpha/2) = n \sin(\theta_2)$ (1)

Далее луч падает на основание призмы. Найдем угол падения на основание $\theta_3'$. Нормаль к боковой грани образует с нормалью к основанию (вертикалью) угол, равный углу наклона самой грани к горизонтали, то есть $90^\circ - \beta = \alpha/2$. Преломленный луч отклонен от нормали к боковой грани на угол $\theta_2$. Таким образом, угол преломленного луча с нормалью к основанию равен $\theta_3' = \alpha/2 - \theta_2$.

Чтобы вышедший луч был параллелен основанию (и падающему лучу), он должен скользить вдоль поверхности основания, то есть выходить под углом $90^\circ$ к нормали. Это предельный случай преломления, при котором угол падения на границу раздела равен критическому углу полного внутреннего отражения $\theta_c$.

Таким образом, $\theta_3' = \theta_c = \arcsin(1/n)$.

Получаем второе уравнение: $\alpha/2 - \theta_2 = \arcsin(1/n)$.

Отсюда $\theta_2 = \alpha/2 - \arcsin(1/n)$.

Подставим это выражение для $\theta_2$ в уравнение (1):

$\sin(\alpha/2) = n \sin(\alpha/2 - \arcsin(1/n))$

Используем формулу синуса разности и учтем, что если $\theta_c = \arcsin(1/n)$, то $\sin(\theta_c) = 1/n$ и $\cos(\theta_c) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta_c)} = \sqrt{1 - 1/n^2} = \frac{\sqrt{n^2-1}}{n}$.

$\sin(\alpha/2) = n \left[ \sin(\alpha/2)\cos(\theta_c) - \cos(\alpha/2)\sin(\theta_c) \right]$

$\sin(\alpha/2) = n \left[ \sin(\alpha/2)\frac{\sqrt{n^2-1}}{n} - \cos(\alpha/2)\frac{1}{n} \right]$

$\sin(\alpha/2) = \sin(\alpha/2)\sqrt{n^2-1} - \cos(\alpha/2)$

Перенесем слагаемые:

$\cos(\alpha/2) = \sin(\alpha/2)\sqrt{n^2-1} - \sin(\alpha/2)$

$\cos(\alpha/2) = \sin(\alpha/2)(\sqrt{n^2-1} - 1)$

Разделим обе части на $\sin(\alpha/2)$ (так как $\alpha \neq 0$):

$\cot(\alpha/2) = \sqrt{n^2-1} - 1$

Отсюда получаем искомое условие:

$\sqrt{n^2-1} = 1 + \cot(\alpha/2)$

Ответ: Луч, пройдя призму, не изменит своего направления при условии, что показатель преломления призмы $\text{n}$ и ее преломляющий угол $\alpha$ связаны соотношением $\sqrt{n^2-1} = 1 + \cot(\alpha/2)$.