Номер 18.25, страница 114 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 18. Законы геометрической оптики - номер 18.25, страница 114.

Условие.

18.25*. В ясный солнечный день стоящий на дне озера водолаз видит в водном «зеркале» у себя над головой отражение всех участков дна, находящихся от него на расстоянии, большем $s = 10 \text{ м}$. Какова глубина $\text{H}$ озера? Рост водолаза $h = 1,7 \text{ м}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Минимальное расстояние до видимых в отражении участков дна $s = 10 \text{ м}$

Рост водолаза $h = 1,7 \text{ м}$

Показатель преломления воды $n = 4/3$

Показатель преломления воздуха $n_{воздуха} = 1$

Найти:

Глубина озера $\text{H}$

Решение:

Явление «водного зеркала», которое наблюдает водолаз, — это полное внутреннее отражение света на границе вода-воздух. Водолаз видит отражение тех участков дна, свет от которых падает на поверхность воды под углом, большим или равным предельному (критическому) углу полного внутреннего отражения $α_c$.

По условию, граница видимости отражения соответствует участкам дна на расстоянии $s = 10 \text{ м}$ от водолаза. Будем считать, что $\text{s}$ — это горизонтальное расстояние по дну от водолаза. Свет от точки на дне, находящейся на этом расстоянии, падает на поверхность воды под критическим углом $α_c$ и после отражения попадает в глаз водолаза.

Критический угол полного внутреннего отражения определяется законом Снеллиуса:

$n \sin(α_c) = n_{воздуха} \sin(90^\circ)$

$\sin(α_c) = \frac{n_{воздуха}}{n} = \frac{1}{n}$

Для решения задачи удобнее использовать тангенс критического угла. Выразим его через синус:

$\tan(α_c) = \frac{\sin(α_c)}{\cos(α_c)} = \frac{\sin(α_c)}{\sqrt{1 - \sin^2(α_c)}} = \frac{1/n}{\sqrt{1 - 1/n^2}} = \frac{1/n}{\sqrt{\frac{n^2-1}{n^2}}} = \frac{1}{\sqrt{n^2 - 1}}$

Рассмотрим геометрию хода луча. Пусть луч света выходит из точки $\text{P}$ на дне, находящейся на горизонтальном расстоянии $\text{s}$ от ног водолаза, отражается от поверхности в точке $\text{R}$ и попадает в глаз водолаза $\text{E}$. Глаз водолаза находится на высоте $\text{h}$ от дна, то есть на глубине $(H-h)$ от поверхности.

Пусть $x_1$ — горизонтальное расстояние от точки $\text{P}$ до вертикали, проходящей через точку отражения $\text{R}$, а $x_2$ — горизонтальное расстояние от этой вертикали до водолаза. Тогда полное горизонтальное расстояние $s = x_1 + x_2$.

Угол падения луча $\text{PR}$ на поверхность равен углу отражения луча $\text{RE}$. В предельном случае, который определяет границу видимости, оба эти угла равны критическому углу $α_c$. Из геометрии прямоугольных треугольников, образованных ходом луча, имеем:

$\tan(α_c) = \frac{x_1}{H}$

$\tan(α_c) = \frac{x_2}{H-h}$

Отсюда выразим $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = H \tan(α_c)$

$x_2 = (H-h) \tan(α_c)$

Подставим эти выражения в формулу для $\text{s}$:

$s = x_1 + x_2 = H \tan(α_c) + (H-h) \tan(α_c) = (2H - h) \tan(α_c)$

Теперь подставим выражение для $\tan(α_c)$:

$s = \frac{2H - h}{\sqrt{n^2 - 1}}$

Выразим из этой формулы искомую глубину озера $\text{H}$:

$s \sqrt{n^2 - 1} = 2H - h$

$2H = h + s \sqrt{n^2 - 1}$

$H = \frac{h + s \sqrt{n^2 - 1}}{2}$

Подставим числовые значения. Для воды примем $n = 4/3$.

$\sqrt{n^2 - 1} = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 - 1} = \sqrt{\frac{16}{9} - 1} = \sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$

Выполним расчет:

$H = \frac{1,7 + 10 \cdot \frac{\sqrt{7}}{3}}{2} \approx \frac{1,7 + 10 \cdot \frac{2,646}{3}}{2} = \frac{1,7 + 10 \cdot 0,882}{2} = \frac{1,7 + 8,82}{2} = \frac{10,52}{2} = 5,26 \text{ м}$

Ответ: глубина озера составляет приблизительно 5,26 м.