Номер 18.23, страница 113 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 18. Законы геометрической оптики - номер 18.23, страница 113.

Условие.

18.23*. Показатель преломления прозрачного раствора изменяется с глубиной — от $n_a$ у поверхности до $n_b$ у дна сосуда.

a) Рассмотрите случай, когда показатель преломления возрастает с глубиной. Каков угол $\beta$ падения луча на дно сосуда, если луч падает на поверхность под углом $\alpha$?

б) Рассмотрите случай, когда показатель преломления уменьшается с глубиной. При каком условии луч не достигнет дна сосуда?

Решение.

Решение 2.

а)

Дано:

Показатель преломления у поверхности: $n_a$

Показатель преломления у дна: $n_b$

Угол луча с нормалью у поверхности: $\alpha$

Условие: показатель преломления возрастает с глубиной ($n_b > n_a$)

Найти:

Угол падения луча на дно $\beta$.

Решение:

Раствор с непрерывно изменяющимся показателем преломления можно представить как стопку из большого числа очень тонких плоскопараллельных слоев, в каждом из которых показатель преломления постоянен. При переходе луча света из одного слоя в другой выполняется закон Снеллиуса. Для всей системы таких слоев это означает, что произведение показателя преломления $\text{n}$ на синус угла $\theta$ между лучом и нормалью к слоям остается постоянной величиной вдоль всей траектории луча.

Запишем этот инвариант: $n(y) \sin\theta(y) = \text{const}$, где $\text{y}$ — глубина.

Применим это соотношение для двух точек: на поверхности раствора и на дне сосуда.

У поверхности: показатель преломления $n_a$, угол с нормалью $\alpha$.

У дна: показатель преломления $n_b$, угол с нормалью $\beta$.

Получаем равенство:

$n_a \sin\alpha = n_b \sin\beta$

Из этого выражения найдем синус искомого угла $\beta$:

$\sin\beta = \frac{n_a}{n_b} \sin\alpha$

Тогда сам угол $\beta$ равен:

$\beta = \arcsin\left(\frac{n_a}{n_b} \sin\alpha\right)$

Поскольку по условию $n_b > n_a$, отношение $\frac{n_a}{n_b} < 1$, следовательно, $\sin\beta < \sin\alpha$, что означает $\beta < \alpha$. Луч по мере распространения вглубь будет приближаться к нормали.

Ответ: $ \beta = \arcsin\left(\frac{n_a}{n_b} \sin\alpha\right) $

б)

Дано:

Показатель преломления у поверхности: $n_a$

Показатель преломления у дна: $n_b$

Угол луча с нормалью у поверхности: $\alpha$

Условие: показатель преломления уменьшается с глубиной ($n_a > n_b$)

Найти:

Условие, при котором луч не достигнет дна сосуда.

Решение:

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся законом сохранения величины $n \sin\theta$ вдоль траектории луча. Для любой глубины $\text{y}$ справедливо равенство:

$n(y) \sin\theta(y) = n_a \sin\alpha$

Из него можно выразить синус угла на произвольной глубине:

$\sin\theta(y) = \frac{n_a \sin\alpha}{n(y)}$

По условию, показатель преломления $n(y)$ уменьшается с глубиной. Следовательно, значение $\sin\theta(y)$ будет возрастать, а значит, и сам угол $\theta(y)$ будет увеличиваться — луч будет все сильнее отклоняться от нормали.

Луч не достигнет дна, если на некоторой глубине $y_{пов}$ он испытает полное внутреннее отражение. Это явление происходит, когда угол преломления достигает $90^\circ$. В этой точке луч становится параллельным дну (горизонтальным), а затем начинает изгибаться вверх.

Условие поворота луча: $\theta(y_{пов}) = 90^\circ$, что соответствует $\sin\theta(y_{пов}) = 1$. Подставив это в наше уравнение, найдем показатель преломления на глубине поворота:

$1 = \frac{n_a \sin\alpha}{n(y_{пов})} \implies n(y_{пов}) = n_a \sin\alpha$

Чтобы луч повернул, не достигнув дна, такое значение показателя преломления $n(y_{пов})$ должно существовать в среде. Поскольку $n(y)$ уменьшается с глубиной от $n_a$ до $n_b$, это возможно только в том случае, если значение $n(y_{пов})$ больше, чем минимальное значение показателя преломления в растворе, то есть $n_b$.

Таким образом, условие, при котором луч не достигнет дна, имеет вид:

$n(y_{пов}) > n_b$

Подставляя найденное выражение для $n(y_{пов})$, получаем:

$n_a \sin\alpha > n_b$

Это условие можно также выразить через критический угол для начального угла $\alpha$:

$\sin\alpha > \frac{n_b}{n_a} \implies \alpha > \arcsin\left(\frac{n_b}{n_a}\right)$

Ответ: Луч не достигнет дна при выполнении условия $ n_a \sin\alpha > n_b $, или, что эквивалентно, $ \alpha > \arcsin\left(\frac{n_b}{n_a}\right) $.