Номер 18.20, страница 113 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 18. Законы геометрической оптики - номер 18.20, страница 113.

Условие.

18.20. Свая, вбитая в дно озера, возвышается над водой на $h_1 = 1,0 \text{ м}$. Глубина озера $h_2 = 2,0 \text{ м}$. Найдите длину тени сваи на поверхности воды и на дне, когда высота солнца над горизонтом $\alpha = 30^\circ$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Высота сваи над водой, $h_1 = 1.0 \text{ м}$
Глубина озера, $h_2 = 2.0 \text{ м}$
Высота солнца над горизонтом, $\alpha = 30^\circ$
Показатель преломления воздуха, $n_1 = 1$
Показатель преломления воды, $n_2 \approx 1.33$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Длину тени на поверхности воды, $L_1$
Длину тени на дне, $L_{общ}$

Решение:

Длина тени на поверхности воды
Тень на поверхности воды отбрасывается той частью сваи, которая возвышается над водой. Эта часть сваи ($h_1$), ее тень на воде ($L_1$) и солнечный луч, касающийся верхушки сваи, образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $h_1$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$, а $L_1$ — катетом, прилежащим к этому углу.

Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике:
$\tan(\alpha) = \frac{h_1}{L_1}$
Отсюда можем выразить длину тени на поверхности воды:
$L_1 = \frac{h_1}{\tan(\alpha)}$

Подставим известные значения:
$L_1 = \frac{1.0 \text{ м}}{\tan(30^\circ)} = \frac{1.0 \text{ м}}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3} \text{ м} \approx 1.73 \text{ м}$

Ответ: Длина тени на поверхности воды составляет примерно 1.73 м.

Длина тени на дне
Общая тень на дне ($L_{общ}$) складывается из двух частей. Первая часть — это тень на поверхности воды ($L_1$), которую мы уже нашли. Вторая часть ($L_2$) образуется из-за преломления солнечного луча на границе раздела воздух-вода. Луч, пройдя через воду, отклоняется и падает на дно дальше от сваи.
$L_{общ} = L_1 + L_2$

Для нахождения $L_2$ воспользуемся законом преломления света (законом Снеллиуса). Угол падения луча $\theta_1$ (угол между лучом и нормалью к поверхности) связан с высотой солнца над горизонтом $\alpha$ следующим образом:
$\theta_1 = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

Закон Снеллиуса:
$n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)$
где $\theta_2$ — угол преломления (угол между преломленным лучом и нормалью). Найдем синус угла преломления:
$\sin(\theta_2) = \frac{n_1}{n_2} \sin(\theta_1) = \frac{1}{1.33} \sin(60^\circ) \approx \frac{1}{1.33} \times 0.866 \approx 0.651$

Длина второй части тени $L_2$ находится из прямоугольного треугольника в воде, где катетами являются глубина озера $h_2$ и искомая длина $L_2$, а $\theta_2$ — угол, прилежащий к катету $h_2$.
$\tan(\theta_2) = \frac{L_2}{h_2} \implies L_2 = h_2 \tan(\theta_2)$

Вычислим тангенс угла преломления, зная его синус:
$\tan(\theta_2) = \frac{\sin(\theta_2)}{\cos(\theta_2)} = \frac{\sin(\theta_2)}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta_2)}} = \frac{0.651}{\sqrt{1 - 0.651^2}} \approx \frac{0.651}{\sqrt{1 - 0.424}} = \frac{0.651}{\sqrt{0.576}} = \frac{0.651}{0.759} \approx 0.858$

Теперь можем рассчитать $L_2$:
$L_2 = 2.0 \text{ м} \times 0.858 \approx 1.72 \text{ м}$

Наконец, найдем общую длину тени на дне:
$L_{общ} = L_1 + L_2 \approx 1.73 \text{ м} + 1.72 \text{ м} = 3.45 \text{ м}$

Ответ: Длина тени на дне составляет примерно 3.45 м.