Номер 18.19, страница 113 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 18. Законы геометрической оптики - номер 18.19, страница 113.

Условие.

18.19**. Принцип Ферма. Луч света идет из точки A в точку B, преломляясь на плоской границе раздела двух сред (см. рисунок). Докажите, что время прохождения света из точки A в точку B минимально как раз в том случае, когда луч «подчиняется» закону преломления.

Решение.

Решение 2.

Решение

Данная задача является формулировкой принципа Ферма для случая преломления света. Принцип Ферма утверждает, что действительный путь распространения света из одной точки в другую — это путь, для прохождения которого свету требуется минимальное время по сравнению с любыми другими путями, соединяющими эти точки. Докажем, что закон преломления является следствием этого принципа.

Рассмотрим две среды, I и II, с плоской границей раздела. Пусть скорость света в среде I равна $v_1$, а в среде II — $v_2$. Точка A находится в среде I, а точка B — в среде II. Введем систему координат, как показано на рисунке ниже, где граница раздела сред совпадает с осью $\text{Ox}$. Пусть координаты точки A будут $(0, h_1)$, а точки B — $(L, -h_2)$, где $h_1 > 0$ и $h_2 > 0$.

Свет от точки A до точки B проходит через некоторую точку $\text{P}$ на границе раздела с координатами $(x, 0)$. Наша задача — найти такое значение $\text{x}$, при котором общее время в пути будет минимальным.

Расстояние от A до P равно $d_1 = AP = \sqrt{(x-0)^2 + (0-h_1)^2} = \sqrt{x^2 + h_1^2}$.

Расстояние от P до B равно $d_2 = PB = \sqrt{(L-x)^2 + (-h_2-0)^2} = \sqrt{(L-x)^2 + h_2^2}$.

Время, необходимое для прохождения каждого из отрезков, равно $t_1 = d_1/v_1$ и $t_2 = d_2/v_2$.

Общее время $\text{T}$ в пути от A до B как функция от $\text{x}$ равно:

$T(x) = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{x^2 + h_1^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{(L-x)^2 + h_2^2}}{v_2}$

Для нахождения минимума этой функции, найдем ее производную по $\text{x}$ и приравняем к нулю: $\frac{dT}{dx} = 0$.

$\frac{dT}{dx} = \frac{1}{v_1} \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + h_1^2}} + \frac{1}{v_2} \cdot \frac{2(L-x)(-1)}{2\sqrt{(L-x)^2 + h_2^2}} = \frac{x}{v_1\sqrt{x^2 + h_1^2}} - \frac{L-x}{v_2\sqrt{(L-x)^2 + h_2^2}}$

Теперь сопоставим полученные выражения с углами падения $\theta_1$ и преломления $\theta_2$. Из геометрии на рисунке видно, что:

$\sin \theta_1 = \frac{x}{AP} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + h_1^2}}$

$\sin \theta_2 = \frac{L-x}{PB} = \frac{L-x}{\sqrt{(L-x)^2 + h_2^2}}$

Подставляя эти выражения в производную, получаем:

$\frac{dT}{dx} = \frac{\sin \theta_1}{v_1} - \frac{\sin \theta_2}{v_2}$

Приравнивая производную к нулю для нахождения экстремума, имеем:

$\frac{\sin \theta_1}{v_1} = \frac{\sin \theta_2}{v_2}$

Показатель преломления среды $\text{n}$ определяется как отношение скорости света в вакууме $\text{c}$ к скорости света в среде $\text{v}$: $n = c/v$, откуда $v = c/n$. Подставим это в наше равенство, используя показатели преломления сред I и II ($n_1$ и $n_2$):

$\frac{\sin \theta_1}{c/n_1} = \frac{\sin \theta_2}{c/n_2}$

$n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$

Мы получили закон преломления света (закон Снеллиуса). Это доказывает, что время прохождения света между точками A и B минимально именно тогда, когда луч света подчиняется закону преломления.

Для полной строгости следует показать, что найденный экстремум является минимумом, для чего нужно проверить знак второй производной. Вычисление показывает, что $\frac{d^2T}{dx^2} = \frac{\cos^2\theta_1}{v_1 d_1} + \frac{\cos^2\theta_2}{v_2 d_2} > 0$, что подтверждает, что время действительно минимально.

Ответ: Время прохождения света из точки А в точку В минимально, когда путь луча удовлетворяет закону преломления $n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$, где $n_1$ и $n_2$ — показатели преломления сред, а $\theta_1$ и $\theta_2$ — углы падения и преломления соответственно. Таким образом, закон преломления является следствием принципа Ферма (принципа наименьшего времени).