Номер 18.22, страница 113 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 18. Законы геометрической оптики - номер 18.22, страница 113.

Условие.

18.22. Луч света направлен из воды в воздух так, что происходит полное отражение на границе вода-воздух. Сможет ли этот луч выйти в воздух, если на поверхность воды налить слой прозрачного масла, показатель преломления которого превышает показатель преломления воды?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Луч света направлен из воды в воздух.
На границе вода-воздух происходит полное внутреннее отражение.
На поверхность воды налит слой масла.
Показатель преломления воды: $n_в$
Показатель преломления воздуха: $n_{воздух}$
Показатель преломления масла: $n_м$
Известно, что $n_в > n_{воздух}$ и по условию $n_м > n_в$.
Угол падения луча в воде на границу раздела: $\alpha$

Найти:

Сможет ли луч выйти в воздух после добавления слоя масла?

Решение:

Первоначальная ситуация (граница вода-воздух)
Явление полного внутреннего отражения (ПВО) возникает, когда свет переходит из оптически более плотной среды в менее плотную (в данном случае, из воды в воздух, $n_в > n_{воздух}$), и угол падения $\alpha$ больше или равен предельному углу отражения $\alpha_{пр}$.
Предельный угол для границы вода-воздух определяется из закона преломления Снеллиуса:
$n_в \sin \alpha_{пр} = n_{воздух} \sin 90^\circ$
Отсюда: $\sin \alpha_{пр} = \frac{n_{воздух}}{n_в}$.
Поскольку по условию задачи происходит ПВО, это означает, что угол падения $\alpha$ удовлетворяет неравенству:
$\sin \alpha \ge \frac{n_{воздух}}{n_в}$

Ситуация после добавления масла (система вода-масло-воздух)
Теперь луч света последовательно проходит две границы: сначала вода-масло, а затем масло-воздух.
На границе вода-масло:
Луч падает на эту границу под тем же углом $\alpha$. По условию, показатель преломления масла больше показателя преломления воды ($n_м > n_в$). Так как свет переходит в оптически более плотную среду, полное внутреннее отражение на этой границе невозможно. Луч преломится, войдя в слой масла под углом $\beta$. Согласно закону Снеллиуса:
$n_в \sin \alpha = n_м \sin \beta$
Из этого соотношения выразим синус угла преломления в масле:
$\sin \beta = \frac{n_в}{n_м} \sin \alpha$

На границе масло-воздух:
Поскольку границы раздела сред параллельны, луч падает на границу масло-воздух под углом $\beta$. Здесь свет пытается перейти из масла в воздух, то есть из более плотной среды в менее плотную ($n_м > n_{воздух}$), следовательно, ПВО на этой границе возможно. Найдем предельный угол $\beta_{пр}$ для этой границы:
$n_м \sin \beta_{пр} = n_{воздух} \sin 90^\circ$
$\sin \beta_{пр} = \frac{n_{воздух}}{n_м}$
Луч сможет выйти в воздух, только если угол его падения $\beta$ будет меньше предельного угла $\beta_{пр}$, то есть должно выполняться условие $\sin \beta < \sin \beta_{пр}$.

Проверим, выполняется ли это условие. Подставим в него ранее найденные выражения:
$\frac{n_в}{n_м} \sin \alpha < \frac{n_{воздух}}{n_м}$
Умножим обе части неравенства на $n_м$ (положительная величина):
$n_в \sin \alpha < n_{воздух}$
$\sin \alpha < \frac{n_{воздух}}{n_в}$

Полученное условие ($\sin \alpha < \frac{n_{воздух}}{n_в}$) является условием выхода луча в воздух при наличии слоя масла. Однако оно прямо противоречит исходному условию задачи, согласно которому на границе вода-воздух наблюдалось ПВО, то есть $\sin \alpha \ge \frac{n_{воздух}}{n_в}$.
Это означает, что условие выхода луча в воздух не будет выполнено. Напротив, для угла падения $\beta$ будет справедливо обратное неравенство:
$\sin \beta = \frac{n_в}{n_м} \sin \alpha \ge \frac{n_в}{n_м} \cdot \left(\frac{n_{воздух}}{n_в}\right) = \frac{n_{воздух}}{n_м}$
Таким образом, $\sin \beta \ge \sin \beta_{пр}$. Это значит, что угол падения луча на границу масло-воздух будет не меньше предельного угла для этой границы, и произойдет полное внутреннее отражение.

Ответ: Нет, не сможет. При добавлении слоя масла луч света испытает полное внутреннее отражение на границе масло-воздух и не выйдет наружу.