Номер 18.29, страница 114 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 18. Законы геометрической оптики - номер 18.29, страница 114.

Условие.

18.29. Преломляющий угол призмы $\varphi = 45^\circ$. Луч света выходит из призмы под тем же углом, под каким он в нее входит; при этом луч отклоняется от первоначального направления на угол $\delta = 25^\circ$. Найдите показатель преломления $\text{n}$ материала призмы.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Преломляющий угол призмы, $\phi = 45^\circ$

Угол отклонения луча, $\delta = 25^\circ$

Угол падения равен углу выхода.

Найти:

Показатель преломления материала призмы, $\text{n}$.

Решение:

Условие, при котором луч света выходит из призмы под тем же углом, под каким он в нее входит, соответствует случаю наименьшего отклонения луча. В этом случае ход луча внутри призмы симметричен. Обозначим угол падения и угол выхода как $\alpha$, а углы преломления внутри призмы на первой и второй гранях как $\beta$.

В общем случае для призмы справедливы следующие соотношения:

$\phi = \beta_1 + \beta_2$

$\delta = \alpha_1 + \alpha_2 - \phi$

где $\alpha_1$ и $\alpha_2$ - углы падения и выхода, а $\beta_1$ и $\beta_2$ - углы преломления на первой и второй гранях соответственно.

Для случая наименьшего отклонения $\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha$ и $\beta_1 = \beta_2 = \beta$. Тогда формулы принимают вид:

$\phi = 2\beta \implies \beta = \frac{\phi}{2}$

$\delta = 2\alpha - \phi \implies \alpha = \frac{\delta + \phi}{2}$

Применим закон преломления света (закон Снеллиуса) на первой грани призмы. Считая, что призма находится в воздухе, показатель преломления которого $n_{воздуха} \approx 1$, имеем:

$1 \cdot \sin(\alpha) = n \cdot \sin(\beta)$

Отсюда выражаем искомый показатель преломления $\text{n}$:

$n = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$

Подставим в эту формулу выражения для углов $\alpha$ и $\beta$:

$n = \frac{\sin\left(\frac{\delta + \phi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}$

Теперь подставим числовые значения из условия:

$n = \frac{\sin\left(\frac{25^\circ + 45^\circ}{2}\right)}{\sin\left(\frac{45^\circ}{2}\right)} = \frac{\sin\left(\frac{70^\circ}{2}\right)}{\sin(22.5^\circ)} = \frac{\sin(35^\circ)}{\sin(22.5^\circ)}$

Выполним вычисления:

$n \approx \frac{0.5736}{0.3827} \approx 1.4989$

Округлим результат до сотых.

Ответ: $n \approx 1.50$.