Номер 18.34, страница 114 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 18. Законы геометрической оптики - номер 18.34, страница 114.

Условие.

18.34. На стеклянную пластинку сверху падает луч света (угол падения $\alpha = 60^\circ$). Нижняя поверхность пластинки посеребрена. От пластинки отражаются два параллельных луча, расстояние между которыми $a = 20$ мм. Найдите толщину $\text{h}$ пластинки.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Угол падения луча $ \alpha = 60^\circ $

Расстояние между отраженными лучами $ a = 20 $ мм

Показатель преломления воздуха $ n_1 = 1 $

Показатель преломления стекла (примем стандартное значение) $ n_2 = n = 1.5 $

Перевод в систему СИ:

$ a = 20 \cdot 10^{-3} $ м $ = 0.02 $ м

Найти:

Толщину пластинки $ h $.

Решение:

При падении луча света на стеклянную пластинку часть света отражается от ее верхней поверхности (луч 1), а часть преломляется и проходит внутрь. Преломленный луч достигает нижней, посеребренной, поверхности, полностью отражается от нее, снова проходит сквозь пластинку и выходит наружу, преломляясь на границе стекло-воздух (луч 2). Так как поверхности пластинки параллельны, луч 2 выходит параллельно лучу 1.

Пусть луч падает на верхнюю поверхность в точке A. Угол преломления $ \beta $ определяется законом Снеллиуса:

$ n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta $

Поскольку среда, из которой падает луч, — воздух ($ n_1 \approx 1 $), а пластинка — стеклянная ($ n_2 = n $), получаем:

$ \sin \alpha = n \sin \beta \implies \sin \beta = \frac{\sin \alpha}{n} $

Преломленный луч проходит толщину пластинки $ h $, отражается от нижней поверхности в точке B и движется к верхней поверхности, попадая в точку C. Горизонтальное смещение луча при прохождении от A до B составляет $ h \tan \beta $. После отражения от точки B к точке C горизонтальное смещение будет таким же. Таким образом, общее горизонтальное смещение луча по верхней поверхности (расстояние AC) равно:

$ L = AC = 2h \tan \beta $

Расстояние $ a $ между двумя параллельными лучами — это перпендикуляр, опущенный из точки C на направление первого отраженного луча. Из геометрических соображений это расстояние связано с $ L $ следующим образом:

$ a = L \cos \alpha = (2h \tan \beta) \cos \alpha $

Из этого соотношения выразим толщину пластинки $ h $:

$ h = \frac{a}{2 \cos \alpha \tan \beta} $

Теперь необходимо выразить $ \tan \beta $ через известные величины $ \alpha $ и $ n $. Используя основное тригонометрическое тождество, найдем $ \cos \beta $:

$ \cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sin \alpha}{n}\right)^2} = \frac{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}}{n} $

Тогда тангенс угла преломления равен:

$ \tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\sin \alpha / n}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha} / n} = \frac{\sin \alpha}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}} $

Подставим это выражение в формулу для толщины $ h $:

$ h = \frac{a}{2 \cos \alpha \frac{\sin \alpha}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}}} = \frac{a \sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}}{2 \sin \alpha \cos \alpha} $

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, упростим выражение:

$ h = \frac{a \sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}}{\sin(2\alpha)} $

Теперь подставим числовые значения. В задаче не указан показатель преломления стекла, поэтому используем стандартное значение $ n = 1.5 $.

Дано: $ a = 20 $ мм, $ \alpha = 60^\circ $, $ n = 1.5 $.

Вычисляем значения тригонометрических функций и квадрата показателя преломления:

$ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \sin^2(60^\circ) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} = 0.75 $

$ \sin(2 \cdot 60^\circ) = \sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ n^2 = 1.5^2 = 2.25 = \frac{9}{4} $

Подставляем значения в формулу для $ h $:

$ h = \frac{20 \cdot \sqrt{\frac{9}{4} - \frac{3}{4}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20 \cdot \sqrt{\frac{6}{4}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 20 \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 20 \sqrt{\frac{6}{3}} = 20\sqrt{2} $ мм.

Вычислим приближенное значение:

$ h \approx 20 \cdot 1.414 \approx 28.28 $ мм.

Ответ: толщина пластинки $ h = 20\sqrt{2} $ мм, что приблизительно равно 28.3 мм.