Номер 18.38, страница 115 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 18. Законы геометрической оптики - номер 18.38, страница 115.

Условие.

18.38**. На сферическую каплю воды падает луч света. Найдите угол $\delta$ отклонения луча от первоначального направления в результате двух преломлений и одного отражения на поверхности капли. Угол падения луча из воздуха на поверхность капли равен $\alpha$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Угол падения луча на сферическую каплю воды: $α$

Показатель преломления воздуха: $n_1 \approx 1$

Показатель преломления воды: $n_2 = n$

Луч испытывает два преломления и одно внутреннее отражение.

Найти:

Угол отклонения луча $δ$

Решение:

Рассмотрим ход луча света через сферическую каплю воды. Угол отклонения $δ$ — это угол между первоначальным направлением падающего луча и направлением луча, вышедшего из капли. Общий угол отклонения складывается из отклонений на каждом этапе взаимодействия луча с поверхностью капли.

1. Первое преломление (вход луча в каплю).

Луч света падает из воздуха на поверхность капли под углом $α$ к нормали (радиусу капли в точке падения). Внутри капли луч преломляется и распространяется под углом $β$ к нормали. Согласно закону Снеллиуса:

$n_1 \sin{\alpha} = n_2 \sin{\beta}$

Принимая $n_1=1$ и $n_2=n$, получаем:

$\sin{\alpha} = n \sin{\beta}$

При этом преломлении луч отклоняется от своего первоначального направления на угол $δ_1$. Этот угол равен разности между углом падения и углом преломления:

$δ_1 = \alpha - \beta$

2. Внутреннее отражение.

Преломленный луч достигает задней поверхности капли. Из-за сферической симметрии капли, луч подходит к этой поверхности под углом падения, равным $β$ (это можно увидеть, рассмотрев равнобедренный треугольник, образованный центром капли и точками входа и отражения луча). По закону отражения, угол отражения также равен $β$.

При отражении луч изменяет свое направление. Угол отклонения луча от направления, которое он имел внутри капли, составляет:

$δ_2 = 180^\circ - 2\beta$

3. Второе преломление (выход луча из капли).

После отражения луч достигает границы вода-воздух. В силу симметрии, угол падения луча на эту границу изнутри капли снова равен $β$. Луч преломляется, выходя в воздух под углом $γ$. По закону Снеллиуса:

$n \sin{\beta} = 1 \cdot \sin{\gamma}$

Сравнивая это уравнение с уравнением для первого преломления ($\sin{\alpha} = n \sin{\beta}$), получаем, что $\sin{\gamma} = \sin{\alpha}$, и, следовательно, $γ = α$.

Отклонение луча при выходе из капли составляет:

$δ_3 = \gamma - \beta = \alpha - \beta$

4. Общий угол отклонения.

Все три отклонения ($δ_1$, $δ_2$, $δ_3$) происходят в одном направлении (например, по часовой стрелке, если луч падает на верхнюю половину капли). Поэтому для нахождения общего угла отклонения $δ$ мы должны их сложить:

$δ = δ_1 + δ_2 + δ_3 = (\alpha - \beta) + (180^\circ - 2\beta) + (\alpha - \beta)$

$δ = 180^\circ + 2\alpha - 4\beta$

Из закона Снеллиуса мы можем выразить $β$ через $α$: $β = \arcsin{\left(\frac{\sin{\alpha}}{n}\right)}$.

Подставив это в выражение для $δ$, получим окончательную формулу:

$δ = 180^\circ + 2\alpha - 4\arcsin{\left(\frac{\sin{\alpha}}{n}\right)}$

Ответ: Угол отклонения луча от первоначального направления равен $δ = 180^\circ + 2\alpha - 4\beta$, где $β$ — угол преломления, связанный с углом падения $α$ законом Снеллиуса $\sin{\alpha} = n \sin{\beta}$, а $\text{n}$ — показатель преломления воды. Итоговая формула: $δ = 180^\circ + 2\alpha - 4\arcsin{\left(\frac{\sin{\alpha}}{n}\right)}$.