Номер 18.27, страница 114 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 18. Законы геометрической оптики - номер 18.27, страница 114.

Условие.

18.27*. Могут ли солнечные лучи испытать полное отражение внутри шарообразной дождевой капли?

Решение.

Решение 2.

Явление полного внутреннего отражения возникает при выполнении двух условий. Во-первых, свет должен переходить из среды с большим показателем преломления в среду с меньшим показателем преломления. Для перехода из воды ($n_1 \approx 1,33$) в воздух ($n_2 \approx 1$) это условие выполняется. Во-вторых, угол падения луча на границу раздела сред должен превышать так называемый предельный угол полного отражения. Проверим, может ли выполниться второе условие для солнечного луча в дождевой капле.

Дано

$n_1$ – показатель преломления воды (среда внутри капли)

$n_2$ – показатель преломления воздуха (среда снаружи капли)

Известно, что $n_1 > n_2$.

Найти:

Возможность полного внутреннего отражения солнечного луча внутри капли.

Решение

Пусть солнечный луч падает на поверхность шарообразной капли под углом падения $\alpha$. При входе в каплю он преломляется. Угол преломления $\beta$ определяется законом Снеллиуса для границы воздух-вода:

$n_2 \sin\alpha = n_1 \sin\beta$

Из этого соотношения выразим синус угла преломления:

$\sin\beta = \frac{n_2}{n_1} \sin\alpha$

После преломления луч распространяется внутри капли и падает на её внутреннюю поверхность. Из-за сферической формы капли, луч, вошедший в точку A и выходящий в точке B, образует равнобедренный треугольник с центром капли O (стороны OA и OB равны как радиусы). Следовательно, угол падения на внутреннюю поверхность в точке B будет равен углу преломления $\beta$ в точке A.

Условие полного внутреннего отражения на границе вода-воздух заключается в том, что угол падения $\beta$ должен быть больше или равен предельному углу $\alpha_{пр}$.

$\beta \ge \alpha_{пр}$

Предельный угол $\alpha_{пр}$ находится из закона Снеллиуса для случая, когда угол преломления равен $90^\circ$:

$n_1 \sin\alpha_{пр} = n_2 \sin(90^\circ) = n_2$

Отсюда:

$\sin\alpha_{пр} = \frac{n_2}{n_1}$

Таким образом, для полного внутреннего отражения необходимо, чтобы выполнялось неравенство:

$\sin\beta \ge \sin\alpha_{пр}$ или $\sin\beta \ge \frac{n_2}{n_1}$

Теперь подставим в это неравенство выражение для $\sin\beta$, полученное ранее для первой границы:

$\frac{n_2}{n_1} \sin\alpha \ge \frac{n_2}{n_1}$

После сокращения на положительную величину $\frac{n_2}{n_1}$, получаем:

$\sin\alpha \ge 1$

Это неравенство физически невозможно, так как синус угла падения $\alpha$ не может быть больше единицы. Равенство $\sin\alpha = 1$ достигается лишь при $\alpha = 90^\circ$, когда луч скользит вдоль поверхности капли, не входя в неё. Для любого луча, который входит внутрь капли, $\alpha < 90^\circ$ и, соответственно, $\sin\alpha < 1$. Это означает, что угол падения на внутреннюю поверхность $\beta$ всегда будет строго меньше предельного угла полного отражения $\alpha_{пр}$.

Ответ: Нет, солнечные лучи не могут испытать полное внутреннее отражение внутри шарообразной дождевой капли, поскольку угол падения луча на внутреннюю поверхность капли всегда оказывается меньше предельного угла полного отражения для границы вода-воздух.