Номер 18.10, страница 112 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 18. Законы геометрической оптики - номер 18.10, страница 112.

Условие.

18.10*. Три зеркала образуют между собой двугранные прямые углы (см. рисунок). Докажите, что после трех отражений от этой системы зеркал направление луча света изменяется на противоположное.

К задаче 18.10

Решение.

Решение 2.

Решение

Для доказательства утверждения воспользуемся векторным методом. Введем декартову систему координат $Oxyz$, оси которой совпадают с линиями пересечения зеркал. Таким образом, три зеркала будут лежать в координатных плоскостях $\text{xy}$, $\text{yz}$ и $\text{xz}$.

Пусть начальное направление распространения луча света задается вектором $\vec{v}_{0} = (v_x, v_y, v_z)$.

Рассмотрим последовательные отражения луча от каждого из трех зеркал. Согласно закону отражения света, при отражении от плоской поверхности компонента вектора скорости, перпендикулярная этой поверхности, меняет свой знак на противоположный, а компоненты, параллельные поверхности, остаются неизменными.

1. Первое отражение.
Допустим, луч сначала отражается от зеркала, расположенного в плоскости $\text{xy}$. Нормалью к этой плоскости является ось $\text{z}$. Следовательно, при отражении изменится только $\text{z}$-компонента вектора направления. Вектор направления после первого отражения станет:
$\vec{v}_{1} = (v_x, v_y, -v_z)$.

2. Второе отражение.
Далее луч с направлением $\vec{v}_{1}$ отражается от зеркала в плоскости $\text{yz}$. Нормалью к этой плоскости является ось $\text{x}$. Значит, изменится $\text{x}$-компонента вектора $\vec{v}_{1}$. Вектор направления после второго отражения:
$\vec{v}_{2} = (-v_x, v_y, -v_z)$.

3. Третье отражение.
Наконец, луч с направлением $\vec{v}_{2}$ отражается от зеркала в плоскости $\text{xz}$. Нормалью к этой плоскости является ось $\text{y}$. Поэтому изменится $\text{y}$-компонента вектора $\vec{v}_{2}$. Вектор направления после третьего отражения:
$\vec{v}_{3} = (-v_x, -v_y, -v_z)$.

Сравним вектор направления луча после трех отражений $\vec{v}_{3}$ с начальным вектором $\vec{v}_{0}$:
$\vec{v}_{3} = (-v_x, -v_y, -v_z) = -(v_x, v_y, v_z) = -\vec{v}_{0}$.

Таким образом, конечный вектор направления луча в точности противоположен начальному вектору. Это означает, что после трех отражений от взаимно перпендикулярных зеркал луч света распространяется параллельно своему первоначальному направлению, но в обратную сторону. Порядок отражений не влияет на конечный результат. Что и требовалось доказать.

Ответ: После трех отражений от системы взаимно перпендикулярных зеркал направление луча света изменяется на противоположное, так как каждая из трех взаимно перпендикулярных компонент вектора его направления меняет свой знак на противоположный, что приводит к изменению знака всего вектора: $\vec{v}_{out} = -\vec{v}_{in}$.