Номер 18.4, страница 111 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 18. Законы геометрической оптики - номер 18.4, страница 111.

Условие.

18.4*. Солнечные лучи, проходя сквозь маленькие отверстия в листве дерева, дают на земле светлые пятна в форме эллипсов одинаковой формы, но разных размеров. Большая ось самых крупных эллипсов $a = 16 \text{ см}$, а малая ось $b = 12 \text{ см}$. Какова высота $\text{H}$ дерева? Под каким углом $\alpha$ к горизонту падают солнечные лучи? Угловой размер солнечного диска $\beta = 9,3 \cdot 10^{-3} \text{ рад}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Большая ось самых крупных эллипсов $a = 16$ см

Малая ось самых крупных эллипсов $b = 12$ см

Угловой размер солнечного диска $\beta = 9,3 \cdot 10^{-3}$ рад

Перевод в СИ:

$a = 0,16$ м

$b = 0,12$ м

Найти:

Высота дерева $\text{H}$ - ?

Угол падения солнечных лучей к горизонту $\alpha$ - ?

Решение:

Маленькие отверстия в листве дерева работают как камеры-обскуры, проецируя изображение солнечного диска на землю. Так как Солнце имеет форму круга, его изображение на плоскости, перпендикулярной солнечным лучам, также было бы кругом. Обозначим диаметр этого кругового изображения как $\text{d}$.

Поскольку солнечные лучи падают на горизонтальную поверхность земли под углом $\alpha$, круглое изображение проецируется в виде эллипса. Малая ось этого эллипса $\text{b}$ равна диаметру $\text{d}$ кругового изображения, а большая ось $\text{a}$ связана с $\text{d}$ через угол падения $\alpha$.

Соотношение между осями эллипса и углом $\alpha$ следующее:

$b = d$

$a = \frac{d}{\sin(\alpha)}$

Подставив $d=b$ во второе уравнение, получим связь между осями эллипса и углом падения солнечных лучей:

$a = \frac{b}{\sin(\alpha)}$

Отсюда мы можем найти угол $\alpha$, под которым солнечные лучи падают к горизонту:

$\sin(\alpha) = \frac{b}{a}$

Подставим числовые значения:

$\sin(\alpha) = \frac{12 \text{ см}}{16 \text{ см}} = \frac{3}{4} = 0,75$

Следовательно, угол $\alpha$ равен:

$\alpha = \arcsin(0,75) \approx 48,6^\circ$

Теперь определим высоту дерева $\text{H}$. Размеры световых пятен зависят от высоты, на которой находится отверстие. Самые крупные пятна, описанные в условии, соответствуют отверстиям на самой большой высоте, то есть высоте дерева $\text{H}$.

Диаметр $\text{d}$ кругового изображения связан с угловым размером Солнца $\beta$ и расстоянием $\text{L}$ от отверстия до земли вдоль солнечного луча по формуле для малых углов:

$d \approx L \cdot \beta$

Расстояние $\text{L}$ по лучу света связано с вертикальной высотой $\text{H}$ и углом $\alpha$ через тригонометрическое соотношение в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\alpha) = \frac{H}{L}$, откуда $L = \frac{H}{\sin(\alpha)}$

Подставим это выражение для $\text{L}$ в формулу для $\text{d}$:

$d = \frac{H}{\sin(\alpha)} \cdot \beta$

Так как мы установили, что $d = b$, то:

$b = \frac{H \cdot \beta}{\sin(\alpha)}$

Из этого уравнения выразим искомую высоту дерева $\text{H}$:

$H = \frac{b \cdot \sin(\alpha)}{\beta}$

Подставим известные значения в системе СИ ($b = 0,12$ м, $\sin(\alpha) = 0,75$ и $\beta = 9,3 \cdot 10^{-3}$ рад):

$H = \frac{0,12 \text{ м} \cdot 0,75}{9,3 \cdot 10^{-3} \text{ рад}} = \frac{0,09 \text{ м}}{9,3 \cdot 10^{-3}} \approx 9,68$ м

Ответ:

Высота дерева $H \approx 9,68$ м. Солнечные лучи падают под углом $\alpha \approx 48,6^\circ$ к горизонту.