Номер 18.9, страница 112 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 18. Законы геометрической оптики - номер 18.9, страница 112.

Условие.

18.9*. Два зеркала образуют двугранный угол $\phi$. На одно из них падает под углом $\alpha$ луч, перпендикулярный ребру угла. На какой угол отклонится этот луч после двух отражений, если $\alpha < \phi$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Двугранный угол между зеркалами: $ \phi $

Угол падения луча на первое зеркало: $ \alpha $

Условие, обеспечивающее второе отражение: $ \alpha < \phi $

Найти:

Угол отклонения луча после двух отражений: $ \delta $

Решение:

Поскольку луч перпендикулярен ребру двугранного угла, его движение можно рассматривать в плоскости, перпендикулярной этому ребру. В этой плоскости зеркала представляют собой две прямые, пересекающиеся под углом $ \phi $.

Для определения общего угла отклонения луча воспользуемся методом, основанным на отслеживании угла направления луча относительно некоторой фиксированной оси. Пусть первое зеркало $M_1$ образует угол $m_1$ с этой осью, а второе зеркало $M_2$ — угол $m_2$. Тогда угол между зеркалами равен $ \phi = m_2 - m_1 $.

Пусть начальное направление луча, падающего на первое зеркало, задается углом $\theta_0$.

При отражении от зеркала, расположенного под углом $\text{m}$ к оси, направление луча изменяется по закону:

$ \theta_{отр} = 2m - \theta_{пад} $

где $ \theta_{пад} $ — угол направления падающего луча, а $ \theta_{отр} $ — угол направления отраженного луча.

1. Первое отражение (от зеркала $M_1$):

Начальное направление луча — $ \theta_0 $. Зеркало $M_1$ находится под углом $m_1$. Направление луча после первого отражения, $ \theta_1 $, будет:

$ \theta_1 = 2m_1 - \theta_0 $

2. Второе отражение (от зеркала $M_2$):

Луч с направлением $ \theta_1 $ падает на зеркало $M_2$, расположенное под углом $m_2$. Направление луча после второго отражения, $ \theta_2 $, будет:

$ \theta_2 = 2m_2 - \theta_1 $

Теперь подставим выражение для $ \theta_1 $ в формулу для $ \theta_2 $:

$ \theta_2 = 2m_2 - (2m_1 - \theta_0) = 2m_2 - 2m_1 + \theta_0 = 2(m_2 - m_1) + \theta_0 $

Так как $ \phi = m_2 - m_1 $, получаем:

$ \theta_2 = 2\phi + \theta_0 $

Угол отклонения $ \delta $ — это разность между конечным и начальным направлениями луча:

$ \delta = \theta_2 - \theta_0 $

Подставив выражение для $ \theta_2 $, найдем $ \delta $:

$ \delta = (2\phi + \theta_0) - \theta_0 = 2\phi $

Таким образом, угол отклонения луча после двух отражений не зависит от угла падения $ \alpha $ и равен удвоенному углу между зеркалами.

Условие $ \alpha < \phi $ необходимо для того, чтобы второе отражение в принципе состоялось. Угол падения на второе зеркало $ \beta $ связан с углом падения на первое зеркало $ \alpha $ и углом между зеркалами $ \phi $ соотношением $ \beta = \phi - \alpha $. Для того чтобы отражение произошло, необходимо, чтобы $ \beta > 0 $, что эквивалентно условию $ \phi > \alpha $.

Ответ: $ \delta = 2\phi $.