Номер 18.7, страница 112 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 18. Законы геометрической оптики - номер 18.7, страница 112.

Условие.

18.7*. Луч света, идущий из точки A, приходит в точку B, отразившись от плоского зеркала CD (см. рисунок). Докажите, что, «подчиняясь» закону отражения, луч «выбирает» кратчайший путь.

Решение.

Решение 2.

Решение

Для доказательства этого утверждения, известного как принцип Ферма для отражения, воспользуемся геометрическим методом. Пусть луч света выходит из точки $\text{A}$, отражается от плоского зеркала $\text{CD}$ в некоторой точке $\text{O}$ и приходит в точку $\text{B}$. Общая длина пути луча $\text{L}$ складывается из длин отрезков $\text{AO}$ и $\text{OB}$: $L = AO + OB$.

Чтобы найти кратчайший путь, построим точку $A'$, симметричную точке $\text{A}$ относительно прямой $\text{CD}$, на которой лежит зеркало. По определению осевой симметрии, для любой точки $\text{O}$, лежащей на прямой $\text{CD}$, длина отрезка $\text{AO}$ будет равна длине отрезка $A'O$.

Тогда длину пути луча можно представить в виде $L = A'O + OB$. Теперь задача сводится к тому, чтобы найти на прямой $\text{CD}$ такую точку $\text{O}$, для которой сумма длин отрезков $A'O$ и $\text{OB}$ будет минимальной.

Согласно аксиоме геометрии, кратчайшее расстояние между двумя точками (в нашем случае, между точками $A'$ и $\text{B}$) — это прямая линия. Следовательно, сумма $A'O + OB$ достигнет своего минимума только в том случае, когда точка $\text{O}$ будет лежать на отрезке прямой, соединяющей точки $A'$ и $\text{B}$. Для любой другой точки $O'$ на зеркале, по неравенству треугольника для $\triangle A'O'B$, будет выполняться условие $A'O' + O'B > A'B$, где $A'B = A'O + OB$. Таким образом, путь $A \to O \to B$ является кратчайшим.

Осталось доказать, что для этого кратчайшего пути выполняется закон отражения, то есть угол падения равен углу отражения.

Пусть $\alpha$ — угол падения (угол между падающим лучом $\text{AO}$ и перпендикуляром к зеркалу в точке $\text{O}$), а $\beta$ — угол отражения (угол между отраженным лучом $\text{OB}$ и тем же перпендикуляром). Удобнее рассмотреть углы, которые лучи образуют с поверхностью зеркала. Обозначим угол между падающим лучом $\text{AO}$ и зеркалом как $\theta_1$, а угол между отраженным лучом $\text{OB}$ и зеркалом как $\theta_2$. Закон отражения эквивалентен равенству этих углов: $\theta_1 = \theta_2$ (поскольку $\alpha = 90^\circ - \theta_1$ и $\beta = 90^\circ - \theta_2$).

Из симметрии нашего построения (точка $A'$ является отражением точки $\text{A}$) следует, что угол, который образует отрезок $A'O$ с зеркалом $\text{CD}$, равен углу $\theta_1$.

Так как для кратчайшего пути точки $A'$, $\text{O}$ и $\text{B}$ лежат на одной прямой, то угол между $A'O$ и зеркалом и угол $\theta_2$ (между $\text{OB}$ и зеркалом) являются вертикальными углами. Следовательно, они равны.

Мы получили цепочку равенств: $\theta_1$ (угол между $\text{AO}$ и $\text{CD}$) = угол между $A'O$ и $\text{CD}$ (из симметрии) = $\theta_2$ (угол между $\text{OB}$ и $\text{CD}$, как вертикальный предыдущему). Из этого следует, что $\theta_1 = \theta_2$, что доказывает выполнение закона отражения для кратчайшего пути.

Ответ: Кратчайший путь луча от точки $\text{A}$ до точки $\text{B}$ с отражением от зеркала соответствует траектории, для которой точка отражения $\text{O}$ лежит на прямой, соединяющей одну из точек (например, $\text{B}$) с мнимым изображением другой точки ($A'$). Для такой траектории, в силу геометрических свойств симметрии и вертикальных углов, угол падения оказывается равным углу отражения. Таким образом, подчиняясь закону отражения, луч света действительно выбирает кратчайший путь.