Номер 18.1, страница 111 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 18. Законы геометрической оптики - номер 18.1, страница 111.

Условие.

18.1. Вертикальный шест высотой $h = 1,0$ м, поставленный недалеко от уличного фонаря, отбрасывает тень длиной $l_1 = 80$ см. Если расстояние между фонарным столбом и шестом увеличить на $s = 1,5$ м, то длина тени возрастет до $l_2 = 1,3$ м. На какой высоте $\text{H}$ находится фонарь?

Решение.

Решение 2.

Дано

$h = 1,0 \text{ м}$
$l_1 = 80 \text{ см} = 0,8 \text{ м}$
$s = 1,5 \text{ м}$
$l_2 = 1,3 \text{ м}$

Найти:

$\text{H}$

Решение

Рассмотрим два случая расположения шеста. В обоих случаях фонарный столб, шест и тень образуют два подобных прямоугольных треугольника.

Случай 1:

Пусть $\text{x}$ — первоначальное расстояние от фонарного столба до шеста.Большой треугольник имеет катеты: высота фонаря $\text{H}$ и расстояние от столба до конца тени $(x + l_1)$.Малый треугольник имеет катеты: высота шеста $\text{h}$ и длина тени $l_1$.Из подобия треугольников следует соотношение:

$\frac{H}{h} = \frac{x + l_1}{l_1}$

Выразим отсюда $\text{x}$:

$\frac{H}{h} = \frac{x}{l_1} + 1$

$x = l_1 \left( \frac{H}{h} - 1 \right) \quad (1)$

Случай 2:

Расстояние между столбом и шестом увеличили на $\text{s}$, новое расстояние равно $x + s$. Длина тени стала $l_2$.Большой треугольник теперь имеет катеты $\text{H}$ и $(x + s + l_2)$.Малый треугольник имеет катеты $\text{h}$ и $l_2$.Из подобия треугольников:

$\frac{H}{h} = \frac{x + s + l_2}{l_2}$

Выразим отсюда $x + s$:

$\frac{H}{h} = \frac{x + s}{l_2} + 1$

$x + s = l_2 \left( \frac{H}{h} - 1 \right) \quad (2)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $\text{H}$ и $\text{x}$. Подставим выражение для $\text{x}$ из уравнения (1) в уравнение (2):

$l_1 \left( \frac{H}{h} - 1 \right) + s = l_2 \left( \frac{H}{h} - 1 \right)$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выразить $\text{H}$:

$s = l_2 \left( \frac{H}{h} - 1 \right) - l_1 \left( \frac{H}{h} - 1 \right)$

$s = (l_2 - l_1) \left( \frac{H}{h} - 1 \right)$

$\frac{s}{l_2 - l_1} = \frac{H}{h} - 1$

$\frac{H}{h} = \frac{s}{l_2 - l_1} + 1$

$H = h \left( \frac{s}{l_2 - l_1} + 1 \right)$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$H = 1,0 \cdot \left( \frac{1,5}{1,3 - 0,8} + 1 \right) = 1,0 \cdot \left( \frac{1,5}{0,5} + 1 \right) = 1,0 \cdot (3 + 1) = 4,0 \text{ м}$

Ответ: высота, на которой находится фонарь, составляет $H = 4,0 \text{ м}$.