Номер 17.30, страница 109 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 17. Электромагнитные колебания и волны. Переменный ток - номер 17.30, страница 109.

Условие.

17.30*. Найдите действующее значение $\text{I}$ переменного тока (см. рис. а, б, в).

Рис. а

Рис. б

Рис. в

Решение.

Решение 2.

Действующее (или эффективное) значение переменного тока $\text{I}$ определяется как среднеквадратичное значение мгновенного тока $i(t)$ за период $\text{T}$. Оно вычисляется по формуле:

$I = \sqrt{\langle i^2(t) \rangle} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^2(t) dt}$

где $\text{T}$ — период переменного тока.

а)

Дано:

График зависимости тока от времени (рис. а).
Амплитудное значение тока: $I_0$.
Период: $\text{T}$.
$i(t) = I_0$ при $0 \le t < T/2$.
$i(t) = -I_0$ при $T/2 \le t < T$.

Найти:

Действующее значение тока $\text{I}$.

Решение:

Найдем квадрат мгновенного тока $i^2(t)$:

При $0 \le t < T/2$, $i^2(t) = (I_0)^2 = I_0^2$.
При $T/2 \le t < T$, $i^2(t) = (-I_0)^2 = I_0^2$.

Таким образом, $i^2(t)$ имеет постоянное значение $I_0^2$ на всем протяжении периода $\text{T}$.

Теперь вычислим интеграл от квадрата тока за период:

$\int_{0}^{T} i^2(t) dt = \int_{0}^{T} I_0^2 dt = I_0^2 \int_{0}^{T} dt = I_0^2 [t]_0^T = I_0^2 T$.

Найдем среднее значение квадрата тока:

$\langle i^2(t) \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^2(t) dt = \frac{1}{T} (I_0^2 T) = I_0^2$.

Действующее значение тока равно корню квадратному из этой величины:

$I = \sqrt{\langle i^2(t) \rangle} = \sqrt{I_0^2} = I_0$.

Ответ: $I = I_0$.

б)

Дано:

График зависимости тока от времени (рис. б).
Амплитудное значение тока: $I_0$.
Период: $\text{T}$.
Из графика видно, что период можно разделить на четыре равных интервала по $T/4$.
$i(t) = I_0$ при $0 \le t < T/4$.
$i(t) = 0$ при $T/4 \le t < T/2$.
$i(t) = -I_0$ при $T/2 \le t < 3T/4$.
$i(t) = 0$ при $3T/4 \le t < T$.

Найти:

Действующее значение тока $\text{I}$.

Решение:

Найдем квадрат мгновенного тока $i^2(t)$:

При $0 \le t < T/4$, $i^2(t) = (I_0)^2 = I_0^2$.
При $T/4 \le t < T/2$, $i^2(t) = 0^2 = 0$.
При $T/2 \le t < 3T/4$, $i^2(t) = (-I_0)^2 = I_0^2$.
При $3T/4 \le t < T$, $i^2(t) = 0^2 = 0$.

Вычислим интеграл от квадрата тока за период, разбив его на четыре части:

$\int_{0}^{T} i^2(t) dt = \int_{0}^{T/4} I_0^2 dt + \int_{T/4}^{T/2} 0 dt + \int_{T/2}^{3T/4} I_0^2 dt + \int_{3T/4}^{T} 0 dt$.

$\int_{0}^{T} i^2(t) dt = I_0^2 [t]_0^{T/4} + 0 + I_0^2 [t]_{T/2}^{3T/4} + 0 = I_0^2 (\frac{T}{4} - 0) + I_0^2 (\frac{3T}{4} - \frac{T}{2}) = I_0^2 \frac{T}{4} + I_0^2 \frac{T}{4} = I_0^2 \frac{T}{2}$.

Найдем среднее значение квадрата тока:

$\langle i^2(t) \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^2(t) dt = \frac{1}{T} (I_0^2 \frac{T}{2}) = \frac{I_0^2}{2}$.

Действующее значение тока:

$I = \sqrt{\langle i^2(t) \rangle} = \sqrt{\frac{I_0^2}{2}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.

Ответ: $I = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.

в)

Дано:

График зависимости тока от времени (рис. в).
Амплитудное значение тока: $I_0$.
Период: $\text{T}$.
Длительность импульса: $\tau$.
$i(t) = I_0$ при $0 \le t < \tau$.
$i(t) = 0$ при $\tau \le t < T$.

Найти:

Действующее значение тока $\text{I}$.

Решение:

Найдем квадрат мгновенного тока $i^2(t)$:

При $0 \le t < \tau$, $i^2(t) = (I_0)^2 = I_0^2$.
При $\tau \le t < T$, $i^2(t) = 0^2 = 0$.

Вычислим интеграл от квадрата тока за период:

$\int_{0}^{T} i^2(t) dt = \int_{0}^{\tau} I_0^2 dt + \int_{\tau}^{T} 0 dt = I_0^2 \int_{0}^{\tau} dt = I_0^2 [t]_0^\tau = I_0^2 \tau$.

Найдем среднее значение квадрата тока:

$\langle i^2(t) \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^2(t) dt = \frac{1}{T} (I_0^2 \tau) = I_0^2 \frac{\tau}{T}$.

Действующее значение тока:

$I = \sqrt{\langle i^2(t) \rangle} = \sqrt{I_0^2 \frac{\tau}{T}} = I_0 \sqrt{\frac{\tau}{T}}$.

Ответ: $I = I_0 \sqrt{\frac{\tau}{T}}$.