Номер 17.23, страница 108 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 17. Электромагнитные колебания и волны. Переменный ток - номер 17.23, страница 108.

Условие.

17.23*. В цепь переменного тока включены последовательно резистор, конденсатор и катушка. Выразите среднюю мощность $\text{P}$, потребляемую всей цепью, через действующие значения силы тока $\text{I}$ и напряжения $\text{U}$. Сдвиг фаз между колебаниями силы тока и напряжения равен $\varphi$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Цепь переменного тока с последовательно соединенными резистором, конденсатором и катушкой.
Действующее значение силы тока: $\text{I}$.
Действующее значение напряжения: $\text{U}$.
Сдвиг фаз между силой тока и напряжением: $\phi$.

Найти:

Средняя мощность, потребляемая цепью: $\text{P}$.

Решение:

Мгновенная мощность в цепи переменного тока определяется как произведение мгновенных значений напряжения $u(t)$ и силы тока $i(t)$:

$p(t) = u(t) \cdot i(t)$

Пусть мгновенное значение силы тока изменяется по закону $i(t) = I_m \cos(\omega t)$, где $I_m$ - амплитудное значение силы тока, а $\omega$ - угловая частота. Поскольку напряжение сдвинуто по фазе на угол $\phi$ относительно тока, его мгновенное значение будет $u(t) = U_m \cos(\omega t + \phi)$, где $U_m$ - амплитудное значение напряжения.

Тогда мгновенная мощность равна:

$p(t) = U_m \cos(\omega t + \phi) \cdot I_m \cos(\omega t) = U_m I_m \cos(\omega t + \phi) \cos(\omega t)$

Используем тригонометрическую формулу $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$:

$p(t) = \frac{1}{2} U_m I_m (\cos \phi + \cos(2\omega t + \phi))$

Средняя мощность $\text{P}$ за период $T = 2\pi/\omega$ - это среднее значение мгновенной мощности $p(t)$ за этот период. Среднее значение слагаемого $\cos(2\omega t + \phi)$, которое колеблется с удвоенной частотой, за период равно нулю. Среднее значение постоянной величины $\frac{1}{2} U_m I_m \cos \phi$ равно самой этой величине. Таким образом,

$P = \frac{1}{2} U_m I_m \cos \phi$

Действующие (среднеквадратичные) значения тока $\text{I}$ и напряжения $\text{U}$ связаны с амплитудными значениями $I_m$ и $U_m$ соотношениями:

$I = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$, $U = \frac{U_m}{\sqrt{2}}$

Отсюда $I_m = I\sqrt{2}$ и $U_m = U\sqrt{2}$. Подставим эти выражения в формулу для средней мощности:

$P = \frac{1}{2} (U\sqrt{2})(I\sqrt{2}) \cos \phi = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot UI \cos \phi = UI \cos \phi$

Этот же результат можно получить и проще. В цепи переменного тока, содержащей резистор, конденсатор и катушку, средняя мощность за период потребляется только на активном сопротивлении (резисторе), так как конденсатор и катушка (идеальные) являются реактивными элементами и не потребляют активной мощности в среднем за период.

Мощность, выделяемая на резисторе, равна $P = I U_R$, где $U_R$ - действующее значение напряжения на резисторе. Напряжение на резисторе совпадает по фазе с током.

Из векторной диаграммы для последовательной RLC-цепи видно, что напряжение на резисторе $U_R$ является проекцией общего напряжения $\text{U}$ на направление вектора тока. Следовательно, $U_R = U \cos \phi$.

Подставляя это выражение в формулу для мощности на резисторе, получаем:

$P = I \cdot (U \cos \phi) = UI \cos \phi$

Ответ: Средняя мощность, потребляемая цепью, выражается формулой $P = UI \cos \phi$.