Номер 17.16, страница 107 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 17. Электромагнитные колебания и волны. Переменный ток - номер 17.16, страница 107.

Условие.

17.16** Один из двух одинаковых конденсаторов (см. рисунок) заряжен до напряжения $U_0$, а другой — не заряжен. Какое напряжение $\text{U}$ установится на конденсаторах после замыкания ключа? Как согласуется этот результат с законом сохранения энергии? Рассмотрите, в частности, случай, когда соединительные провода являются сверхпроводящими.

К задаче 17.16

Решение.

Решение 2.

Дано:

Два одинаковых конденсатора емкостью $\text{C}$.

Начальное напряжение на первом конденсаторе: $U_1 = U_0$.

Начальное напряжение на втором конденсаторе: $U_2 = 0$.

Найти:

1. Конечное напряжение $\text{U}$ на конденсаторах.

2. Согласование результата с законом сохранения энергии.

Решение:

Какое напряжение U установится на конденсаторах после замыкания ключа?

До замыкания ключа система состоит из двух электрически изолированных конденсаторов. Заряд первого конденсатора равен $q_1 = C U_0$, а второго $q_2 = 0$. Общий заряд системы до замыкания ключа $q_{общ} = q_1 + q_2 = C U_0$.

После замыкания ключа конденсаторы оказываются соединенными параллельно. Система из двух конденсаторов и соединительных проводов является замкнутой (электрически изолированной), поэтому по закону сохранения электрического заряда общий заряд системы останется неизменным.

Заряд перераспределится между конденсаторами до тех пор, пока напряжение на них не станет одинаковым. Обозначим это установившееся напряжение через $\text{U}$.

Новые заряды на конденсаторах будут равны $q'_1 = C U$ и $q'_2 = C U$.

Общий заряд системы после замыкания ключа: $q'_{общ} = q'_1 + q'_2 = C U + C U = 2 C U$.

Приравнивая начальный и конечный общий заряд:

$q_{общ} = q'_{общ}$

$C U_0 = 2 C U$

Отсюда находим установившееся напряжение $\text{U}$:

$U = \frac{C U_0}{2 C} = \frac{U_0}{2}$

Ответ: Напряжение, которое установится на конденсаторах после замыкания ключа, равно $U = \frac{U_0}{2}$.

Как согласуется этот результат с законом сохранения энергии?

Рассчитаем энергию системы до и после замыкания ключа.

Начальная энергия системы — это энергия, запасенная в первом конденсаторе:

$W_{нач} = \frac{C U_0^2}{2} + 0 = \frac{C U_0^2}{2}$

Конечная энергия системы — это сумма энергий двух конденсаторов при напряжении $U = \frac{U_0}{2}$:

$W_{кон} = \frac{C U^2}{2} + \frac{C U^2}{2} = C U^2 = C \left(\frac{U_0}{2}\right)^2 = \frac{C U_0^2}{4}$

Сравнивая начальную и конечную энергию, видим, что $W_{кон} = \frac{1}{2} W_{нач}$. Это означает, что половина начальной энергии системы была потеряна.

Это не противоречит закону сохранения энергии. В момент замыкания ключа в цепи возникает ток, который течет по соединительным проводам. Любые реальные провода обладают электрическим сопротивлением $\text{R}$. При протекании тока через это сопротивление выделяется теплота согласно закону Джоуля-Ленца. "Потерянная" электрическая энергия $\Delta W$ переходит в тепловую:

$\Delta W = W_{нач} - W_{кон} = \frac{C U_0^2}{2} - \frac{C U_0^2}{4} = \frac{C U_0^2}{4}$

Таким образом, закон сохранения энергии выполняется: начальная электрическая энергия системы преобразуется в конечную электрическую энергию и теплоту, выделившуюся в проводах.

Ответ: Конечная энергия электрического поля конденсаторов вдвое меньше начальной. Разность энергий выделяется в виде тепла на сопротивлении соединительных проводов в процессе перезарядки. Закон сохранения энергии выполняется, так как происходит превращение части электрической энергии в тепловую.

Рассмотрите, в частности, случай, когда соединительные провода являются сверхпроводящими.

В случае, если соединительные провода являются сверхпроводящими, их сопротивление $R = 0$. Это означает, что энергия не может выделяться в виде тепла. Однако любая цепь, образующая замкнутый контур, обладает индуктивностью $\text{L}$. Таким образом, наша система представляет собой идеальный колебательный LC-контур.

При замыкании ключа в контуре возникнут незатухающие электромагнитные колебания. Энергия будет периодически переходить из электрического поля конденсаторов в магнитное поле, создаваемое током в катушке (контуре), и обратно. В этом идеализированном случае система никогда не придет в стационарное состояние с напряжением $U = \frac{U_0}{2}$, а будет бесконечно осциллировать.

Если же учесть, что колеблющиеся (ускоренно движущиеся) заряды в контуре излучают электромагнитные волны, то энергия системы будет постепенно уноситься этими волнами. Колебания в контуре будут затухающими, и в конце концов система придет в то же самое состояние равновесия с напряжением $U = \frac{U_0}{2}$ на каждом конденсаторе. "Потерянная" энергия $\Delta W = \frac{C U_0^2}{4}$ в этом случае будет излучёна в пространство в виде электромагнитных волн.

Ответ: В случае сверхпроводящих проводов цепь становится идеальным LC-контуром. Энергия не выделяется в виде тепла, а переходит в энергию магнитного поля, вызывая электромагнитные колебания. Учитывая излучение электромагнитных волн, эти колебания затухают, и "потерянная" энергия излучается в пространство. Закон сохранения энергии также выполняется.