Номер 17.11, страница 106 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 17. Электромагнитные колебания и волны. Переменный ток - номер 17.11, страница 106.

Условие.

17.11. Антенна корабельного радиолокатора находится на высоте $h = 25 \text{ м}$ над уровнем моря. На каком максимальном расстоянии $s_{\text{max}}$ радиолокатор может обнаружить спасательный плот? С какой частотой $\text{n}$ могут при этом испускаться импульсы?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$h = 25$ м (высота антенны)

$R_З \approx 6400$ км (средний радиус Земли)

$c = 3 \cdot 10^8$ м/с (скорость света)

$R_З = 6400 \text{ км} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$s_{max}$ - ?

$\text{n}$ - ?

Решение:

На каком максимальном расстоянии $s_{max}$ радиолокатор может обнаружить спасательный плот?

Максимальное расстояние обнаружения объекта на поверхности моря определяется дальностью прямой видимости, которая ограничена кривизной Земли. Радиоволны распространяются прямолинейно, поэтому максимальное расстояние — это длина касательной, проведенной от антенны к поверхности Земли.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются: центр Земли (Ц), местоположение антенны (А) и спасательный плот (П) на горизонте. Гипотенуза этого треугольника — расстояние от центра Земли до антенны, равное $R_З + h$. Один катет — это радиус Земли $R_З$. Второй катет — искомое максимальное расстояние $s_{max}$.

Согласно теореме Пифагора:

$(R_З + h)^2 = R_З^2 + s_{max}^2$

Раскроем скобки:

$R_З^2 + 2R_Зh + h^2 = R_З^2 + s_{max}^2$

Отсюда выразим $s_{max}^2$:

$s_{max}^2 = 2R_Зh + h^2$

Так как высота антенны $\text{h}$ значительно меньше радиуса Земли $R_З$ ($h \ll R_З$), то слагаемым $h^2$ можно пренебречь по сравнению с $2R_Зh$. Таким образом, формула упрощается:

$s_{max} \approx \sqrt{2R_Зh}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$s_{max} \approx \sqrt{2 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} \cdot 25 \text{ м}} = \sqrt{320 \cdot 10^6} \text{ м} = \sqrt{3.2 \cdot 10^8} \text{ м} \approx 17888.5 \text{ м}$

Переведем результат в километры:

$s_{max} \approx 17.9 \text{ км}$

Ответ: Максимальное расстояние, на котором радиолокатор может обнаружить спасательный плот, составляет примерно 17.9 км.

С какой частотой $\text{n}$ могут при этом испускаться импульсы?

Чтобы избежать неоднозначности в определении расстояния до цели, следующий радиоимпульс должен отправляться только после того, как эхо от предыдущего импульса, отраженное от максимально удаленной цели ($s_{max}$), вернется на антенну.

Время, за которое импульс проходит путь до цели и обратно, равно:

$T = \frac{2s_{max}}{c}$

Это время является минимальным периодом повторения импульсов. Максимальная частота $\text{n}$ (частота следования импульсов) является величиной, обратной этому периоду:

$n = \frac{1}{T} = \frac{c}{2s_{max}}$

Подставим значения, используя ранее вычисленное $s_{max}$ в метрах:

$n \approx \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{2 \cdot 17888.5 \text{ м}} \approx \frac{3 \cdot 10^8}{35777} \text{ Гц} \approx 8385 \text{ Гц}$

Переведем в килогерцы:

$n \approx 8.4 \text{ кГц}$

Ответ: Импульсы могут испускаться с максимальной частотой примерно 8.4 кГц.