Номер 17.8, страница 106 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 17. Электромагнитные колебания и волны. Переменный ток - номер 17.8, страница 106.

Условие.

17.8. Колебательный контур радиоприемника настроен на частоту $v = 6\text{ МГц}$. Во сколько раз нужно изменить емкость конденсатора контура, чтобы настроиться на длину волны $\lambda = 150\text{ м}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

ν₁ = 6 МГц

λ₂ = 150 м

c = 3 · 10⁸ м/с (скорость света в вакууме)

Перевод в СИ:

ν₁ = 6 · 10⁶ Гц

Найти:

$\frac{C_2}{C_1}$ — ?

Решение:

Резонансная частота колебательного контура определяется по формуле Томсона:

$ν = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $\text{L}$ — индуктивность катушки, а $\text{C}$ — емкость конденсатора.

Так как для перестройки контура изменяют только емкость конденсатора, индуктивность $\text{L}$ остается постоянной.

Выразим емкость $\text{C}$ из формулы Томсона:

$ν^2 = \frac{1}{4\pi^2LC}$

$C = \frac{1}{4\pi^2Lν^2}$

Запишем это выражение для начального и конечного состояний контура:

Начальная емкость: $C_1 = \frac{1}{4\pi^2Lν_1^2}$

Конечная емкость: $C_2 = \frac{1}{4\pi^2Lν_2^2}$

Найдем отношение конечной емкости к начальной:

$\frac{C_2}{C_1} = \frac{1/(4\pi^2Lν_2^2)}{1/(4\pi^2Lν_1^2)} = \frac{4\pi^2Lν_1^2}{4\pi^2Lν_2^2} = \left(\frac{ν_1}{ν_2}\right)^2$

Частота $ν$ и длина волны $λ$ связаны соотношением $λ = \frac{c}{ν}$, где $\text{c}$ — скорость света. Отсюда $ν = \frac{c}{λ}$.

Найдем частоту $ν_2$, соответствующую длине волны $λ_2$:

$ν_2 = \frac{c}{λ_2} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{150 \text{ м}} = 2 \cdot 10^6 \text{ Гц} = 2 \text{ МГц}$

Теперь подставим значения частот $ν_1$ и $ν_2$ в формулу для отношения емкостей:

$\frac{C_2}{C_1} = \left(\frac{6 \cdot 10^6 \text{ Гц}}{2 \cdot 10^6 \text{ Гц}}\right)^2 = \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 3^2 = 9$

Таким образом, для настройки на новую длину волны емкость конденсатора необходимо увеличить в 9 раз.

Ответ: емкость конденсатора нужно увеличить в 9 раз.