Номер 17.3, страница 105 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 17. Электромагнитные колебания и волны. Переменный ток - номер 17.3, страница 105.

Условие.

17.3. Найдите силу тока в колебательном контуре (см. задачу 17.2):

а) через $t_1 = 0,31$ мкс после подключения батареи конденсаторов к катушке;

б) в момент, когда напряжение на батарее конденсаторов $u = 100$ В.

Рассмотрите только случай параллельного соединения конденсаторов.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Данные из задачи 17.2:

$L = 0,2$ мГн

$C_0 = 0,5$ мкФ (2 конденсатора)

$U_{max} = 200$ В

Данные из задачи 17.3:

Соединение конденсаторов – параллельное

$t_1 = 0,31$ мкс

$u = 100$ В

Перевод в систему СИ:

$L = 0,2 \times 10^{-3} \text{ Гн} = 2 \times 10^{-4}$ Гн

$C_0 = 0,5 \times 10^{-6}$ Ф

$t_1 = 0,31 \times 10^{-6}$ с

Найти:

а) $i_1$ - сила тока в момент времени $t_1$

б) $i_2$ - сила тока при напряжении $\text{u}$

Решение:

В идеальном колебательном контуре происходят гармонические колебания. Если в начальный момент времени ($t=0$) конденсатор полностью заряжен, то напряжение на нем и сила тока в катушке изменяются со временем по законам:

$u(t) = U_{max}\cos(\omega t)$

$i(t) = I_{max}\sin(\omega t)$

где $U_{max}$ – максимальное напряжение, $I_{max}$ – амплитудная сила тока, а $\omega$ – циклическая частота колебаний.

Сначала определим параметры контура для случая параллельного соединения конденсаторов.

Общая емкость $\text{C}$ батареи из двух параллельно соединенных конденсаторов равна сумме их емкостей:

$C = C_0 + C_0 = 2C_0 = 2 \times 0,5 \times 10^{-6} \text{ Ф} = 1 \times 10^{-6}$ Ф.

Циклическая частота колебаний $\omega$ в контуре определяется по формуле Томсона:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{2 \times 10^{-4} \text{ Гн} \times 1 \times 10^{-6} \text{ Ф}}} = \frac{1}{\sqrt{2 \times 10^{-10} \text{ с}^2}} = \frac{10^5}{\sqrt{2}}$ рад/с.

Амплитудное значение силы тока $I_{max}$ найдем из закона сохранения энергии. Максимальная энергия электрического поля конденсатора переходит в максимальную энергию магнитного поля катушки:

$\frac{CU_{max}^2}{2} = \frac{LI_{max}^2}{2}$

$I_{max} = U_{max}\sqrt{\frac{C}{L}} = 200 \text{ В} \times \sqrt{\frac{1 \times 10^{-6} \text{ Ф}}{2 \times 10^{-4} \text{ Гн}}} = 200 \times \sqrt{0,5 \times 10^{-2}} = 200 \times \frac{1}{\sqrt{200}} = \frac{200}{10\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}$ А.

а) Найдем силу тока в момент времени $t_1 = 0,31$ мкс.

Сила тока в этот момент времени $i_1$ равна:

$i_1 = i(t_1) = I_{max}\sin(\omega t_1)$.

Вычислим фазу колебаний $\phi = \omega t_1$:

$\phi = \omega t_1 = \frac{10^5}{\sqrt{2}} \text{ рад/с} \times 0,31 \times 10^{-6} \text{ с} = \frac{0,031}{\sqrt{2}} \approx 0,0219$ рад.

Так как фаза $\phi$ является малым углом ($\phi \ll 1$), можно использовать приближение $\sin(\phi) \approx \phi$.

$i_1 \approx I_{max} \cdot (\omega t_1) = (10\sqrt{2} \text{ А}) \times \left(\frac{0,031}{\sqrt{2}}\right) = 10 \times 0,031 \text{ А} = 0,31$ А.

Другой способ для малых $\text{t}$: в начальный момент времени напряжение на катушке равно $U_{max}$, и оно определяет скорость нарастания тока: $U_{max} = L\frac{di}{dt}$. Для малого промежутка времени $t_1$ можно считать, что ток нарастает линейно: $i_1 \approx \frac{di}{dt} \cdot t_1 = \frac{U_{max}}{L}t_1$.

$i_1 \approx \frac{200 \text{ В}}{2 \times 10^{-4} \text{ Гн}} \times 0,31 \times 10^{-6} \text{ с} = 10^6 \text{ А/с} \times 0,31 \times 10^{-6} \text{ с} = 0,31$ А.

Ответ: $i_1 = 0,31$ А.

б) Найдем силу тока $i_2$ в момент, когда напряжение на конденсаторах $u = 100$ В.

Воспользуемся законом сохранения энергии для колебательного контура. Полная энергия контура $\text{W}$ постоянна и равна сумме энергии электрического поля конденсатора $W_C$ и энергии магнитного поля катушки $W_L$.

$W = W_C + W_L = \frac{Cu^2}{2} + \frac{Li_2^2}{2}$

Полная энергия также равна максимальной энергии, запасенной в конденсаторе:

$W = \frac{CU_{max}^2}{2}$

Приравнивая эти выражения, получаем:

$\frac{CU_{max}^2}{2} = \frac{Cu^2}{2} + \frac{Li_2^2}{2}$

$CU_{max}^2 = Cu^2 + Li_2^2$

Выразим отсюда искомую силу тока $i_2$:

$Li_2^2 = C(U_{max}^2 - u^2)$

$i_2 = \sqrt{\frac{C}{L}(U_{max}^2 - u^2)}$

Подставим числовые значения:

$i_2 = \sqrt{\frac{1 \times 10^{-6} \text{ Ф}}{2 \times 10^{-4} \text{ Гн}} \times ((200 \text{ В})^2 - (100 \text{ В})^2)} = \sqrt{0,5 \times 10^{-2} \frac{\text{Ф}}{\text{Гн}} \times (40000 - 10000) \text{ В}^2}$

$i_2 = \sqrt{5 \times 10^{-3} \times 30000} \text{ А} = \sqrt{150} \text{ А} = \sqrt{25 \times 6} \text{ А} = 5\sqrt{6}$ А.

Вычислим приближенное значение:

$i_2 \approx 5 \times 2,449 \approx 12,25$ А.

Ответ: $i_2 = 5\sqrt{6}$ А $\approx 12,25$ А.