Номер 16.41, страница 105 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 16. Электромагнитная индукция - номер 16.41, страница 105.

Условие.

16.41** Магнитное поле имеет вертикальную ось симметрии (ось $\text{z}$). Проекция вектора магнитной индукции $\mathbf{B}$ на эту ось $B_z = B_0(1 + z/h_0)$. С большой высоты падает медное кольцо диаметром $\text{d}$, имеющее электрическое сопротивление $\text{R}$; плоскость кольца все время горизонтальна, а его центр движется вдоль оси $\text{z}$. Найдите установившуюся скорость падения $\text{v}$, если масса кольца равна $\text{m}$. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Магнитное поле с вертикальной осью симметрии $\text{z}$.

Проекция вектора магнитной индукции на ось $\text{z}$: $B_z = B_0(1 + z/h_0)$.

Диаметр медного кольца: $\text{d}$.

Электрическое сопротивление кольца: $\text{R}$.

Масса кольца: $\text{m}$.

Найти:

Установившаяся скорость падения кольца $\text{v}$.

Решение:

Когда медное кольцо падает в неоднородном магнитном поле, магнитный поток через площадь, ограниченную кольцом, изменяется. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, это изменение потока создает электродвижущую силу (ЭДС) в кольце, что приводит к возникновению индукционного тока.

1. Найдем магнитный поток $\Phi_B$ через кольцо. Площадь кольца равна $S = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$. Так как плоскость кольца горизонтальна, вектор площади $\vec{S}$ параллелен оси $\text{z}$. Магнитный поток через кольцо, находящееся на высоте $\text{z}$, равен:

$\Phi_B = B_z S = B_0(1 + \frac{z}{h_0}) \frac{\pi d^2}{4}$

2. Найдем ЭДС индукции $\mathcal{E}$ в кольце. ЭДС равна скорости изменения магнитного потока, взятой со знаком минус:

$\mathcal{E} = - \frac{d\Phi_B}{dt}$

Поскольку $\text{z}$ является функцией времени, используем правило дифференцирования сложной функции:

$\mathcal{E} = - \frac{d\Phi_B}{dz} \frac{dz}{dt}$

Производная потока по координате $\text{z}$:

$\frac{d\Phi_B}{dz} = \frac{d}{dz} \left[ B_0(1 + \frac{z}{h_0}) \frac{\pi d^2}{4} \right] = \frac{B_0 \pi d^2}{4h_0}$

Скорость изменения координаты $\frac{dz}{dt}$ есть вертикальная скорость кольца. Так как кольцо падает (движется против направления оси $\text{z}$), то $\frac{dz}{dt} = -v$, где $\text{v}$ - установившаяся скорость падения (положительная величина).

Тогда ЭДС индукции равна:

$\mathcal{E} = - \left( \frac{B_0 \pi d^2}{4h_0} \right) (-v) = \frac{B_0 \pi d^2 v}{4h_0}$

3. Найдем силу индукционного тока $\text{I}$ в кольце, используя закон Ома для замкнутой цепи:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{B_0 \pi d^2 v}{4h_0 R}$

4. На кольцо с током, находящееся в магнитном поле, действует сила Ампера. Установившаяся скорость достигается, когда сила Ампера $\vec{F}_A$, направленная вверх (согласно правилу Ленца), уравновешивает силу тяжести $\vec{F}_g = m\vec{g}$, направленную вниз.

$F_A = F_g = mg$

Силу Ампера можно найти через закон сохранения энергии. Мощность, выделяемая в виде тепла в кольце (джоулево тепло), равна работе, совершаемой силой Ампера в единицу времени:

$P_{тепл} = P_A$

$I^2 R = F_A v$

Отсюда выразим силу Ампера:

$F_A = \frac{I^2 R}{v}$

Подставим выражение для тока $\text{I}$:

$F_A = \frac{1}{v} \left( \frac{B_0 \pi d^2 v}{4h_0 R} \right)^2 R = \frac{1}{v} \frac{B_0^2 \pi^2 d^4 v^2}{16 h_0^2 R^2} R = \frac{B_0^2 \pi^2 d^4 v}{16 h_0^2 R}$

5. Приравняем силу Ампера и силу тяжести для нахождения установившейся скорости $\text{v}$:

$mg = \frac{B_0^2 \pi^2 d^4 v}{16 h_0^2 R}$

Выразим отсюда скорость $\text{v}$:

$v = \frac{16 m g h_0^2 R}{B_0^2 \pi^2 d^4}$

Ответ: $v = \frac{16 m g h_0^2 R}{B_0^2 \pi^2 d^4}$