Номер 16.40, страница 105 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 16. Электромагнитная индукция - номер 16.40, страница 105.

Условие.

16.40*. Электродвигатель включен в сеть постоянного тока с напряжением $U = 120 \text{ В}$. Сопротивление обмотки двигателя $R = 12 \text{ Ом}$. Какую максимальную мощность $N_{\text{max}}$ может развить этот двигатель? При какой силе тока $I_0$ достигается эта мощность? Напряжение в сети считайте постоянным.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Напряжение сети, $U = 120$ В

Сопротивление обмотки, $R = 12$ Ом

Найти:

Максимальную мощность, $N_{max}$

Силу тока, при которой достигается максимальная мощность, $I_0$

Решение:

Электродвигатель, подключенный к сети, потребляет электрическую мощность $P_{потр}$. Часть этой мощности идет на совершение механической работы (полезная мощность $\text{N}$), а другая часть выделяется в виде тепла на обмотке двигателя (мощность тепловых потерь $P_Q$).

Полная мощность, потребляемая двигателем от сети, равна:

$P_{потр} = U \cdot I$

где $\text{I}$ – сила тока в цепи.

Мощность тепловых потерь в обмотке определяется законом Джоуля-Ленца:

$P_Q = I^2 \cdot R$

Полезная механическая мощность, развиваемая двигателем, равна разности потребляемой мощности и мощности тепловых потерь:

$N = P_{потр} - P_Q = U \cdot I - I^2 \cdot R$

Мы получили зависимость полезной мощности $\text{N}$ от силы тока $\text{I}$. Эта функция является квадратичной параболой с ветвями, направленными вниз (так как коэффициент при $I^2$ равен $-R < 0$). Максимальное значение такой функции достигается в ее вершине.

Чтобы найти значение тока $I_0$, при котором мощность $\text{N}$ максимальна, нужно найти производную функции $N(I)$ по $\text{I}$ и приравнять ее к нулю:

$\frac{dN}{dI} = \frac{d}{dI}(U \cdot I - R \cdot I^2) = U - 2 \cdot R \cdot I$

Приравниваем производную к нулю:

$U - 2 \cdot R \cdot I_0 = 0$

Отсюда находим силу тока $I_0$:

$I_0 = \frac{U}{2R}$

Подставим числовые значения:

$I_0 = \frac{120 \text{ В}}{2 \cdot 12 \text{ Ом}} = \frac{120}{24} \text{ А} = 5 \text{ А}$

Теперь, зная ток $I_0$, найдем максимальную полезную мощность $N_{max}$, подставив $I_0$ в выражение для $\text{N}$:

$N_{max} = U \cdot I_0 - R \cdot I_0^2 = U \cdot \frac{U}{2R} - R \cdot (\frac{U}{2R})^2 = \frac{U^2}{2R} - R \cdot \frac{U^2}{4R^2} = \frac{U^2}{2R} - \frac{U^2}{4R} = \frac{U^2}{4R}$

Подставим числовые значения:

$N_{max} = \frac{(120 \text{ В})^2}{4 \cdot 12 \text{ Ом}} = \frac{14400}{48} \text{ Вт} = 300 \text{ Вт}$

Ответ: максимальная мощность, которую может развить двигатель, составляет $N_{max} = 300$ Вт; эта мощность достигается при силе тока $I_0 = 5$ А.