Номер 16.37, страница 104 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 16. Электромагнитная индукция - номер 16.37, страница 104.

Условие.

16.37** Сверхпроводящее кольцо радиусом $\text{l}$ помещено в однородное горизонтальное магнитное поле с индукцией $\text{B}$. Ось кольца параллельна линиям магнитной индукции поля (см. рисунок). Стержень массой $\text{m}$ и длиной $\text{l}$, имеющий сопротивление $\text{R}$, закреплен одним концом в центре кольца и может без трения поворачиваться вокруг этой точки, сохраняя электрический контакт с кольцом. По какому закону должно изменяться напряжение $\text{U}$, приложенное между кольцом и его центром, чтобы стержень вращался с постоянной угловой скоростью $\omega$? Явление самоиндукции не учитывайте.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус кольца (и длина стержня) - $\text{l}$
Индукция магнитного поля - $\text{B}$
Масса стержня - $\text{m}$
Сопротивление стержня - $\text{R}$
Угловая скорость - $\omega$ (постоянная)

Найти:

Закон изменения напряжения $U(t)$.

Решение:

Стержень вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$, следовательно, его угловое ускорение равно нулю ($\alpha = 0$). Согласно второму закону Ньютона для вращательного движения, сумма моментов всех сил, действующих на стержень, должна быть равна нулю.

На стержень действуют два момента сил:

1. Момент силы Ампера $M_A$, возникающий из-за протекания тока $\text{I}$ по стержню в магнитном поле $\text{B}$.

2. Момент силы тяжести $M_г$, поскольку стержень имеет массу $\text{m}$ и вращается, предположительно, в вертикальной плоскости (т.к. поле горизонтальное).

Условие равновесия моментов: $M_A + M_г = 0$.

Найдем момент силы тяжести. Сила тяжести $\text{mg}$ приложена к центру масс стержня, который находится на расстоянии $l/2$ от центра вращения. Пусть угол поворота стержня отсчитывается от нижнего вертикального положения и равен $\varphi = \omega t$. Тогда плечо силы тяжести равно $(l/2)\sin(\varphi)$. Момент силы тяжести будет стремиться вернуть стержень в положение равновесия, поэтому он будет противоположен моменту силы Ампера, который вращает стержень.

$M_г = -mg \frac{l}{2} \sin(\varphi) = -mg \frac{l}{2} \sin(\omega t)$

Теперь найдем момент силы Ампера. Сила Ампера, действующая на малый элемент стержня $\text{dr}$ на расстоянии $\text{r}$ от центра, равна $dF_A = I B dr$. Момент этой силы относительно центра вращения равен $dM_A = r dF_A = I B r dr$. Проинтегрируем по всей длине стержня от 0 до $\text{l}$:

$M_A = \int_0^l I B r dr = I B \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^l = \frac{I B l^2}{2}$

Подставим моменты в условие равновесия:

$\frac{I(t) B l^2}{2} - mg \frac{l}{2} \sin(\omega t) = 0$

Отсюда найдем, как должен изменяться ток $I(t)$ во времени, чтобы обеспечить постоянную угловую скорость:

$I(t) = \frac{mgl \sin(\omega t)}{Bl^2} = \frac{mg}{Bl} \sin(\omega t)$

Теперь рассмотрим электрическую цепь. Она состоит из источника напряжения $\text{U}$, сопротивления стержня $\text{R}$ и ЭДС индукции $\mathcal{E}_{ind}$, возникающей в стержне при его вращении в магнитном поле. По закону Ома для полной цепи:

$I = \frac{U - \mathcal{E}_{ind}}{R}$

Знак "минус" ставится потому, что по правилу Ленца индуцированный ток будет препятствовать вращению, то есть ЭДС индукции направлена против приложенного напряжения $\text{U}$.

Найдем ЭДС индукции. На элемент стержня $\text{dr}$ на расстоянии $\text{r}$ от центра, движущийся со скоростью $v = \omega r$, действует сила Лоренца, создающая ЭДС $d\mathcal{E}_{ind} = B v dr = B \omega r dr$. Полная ЭДС индукции на стержне:

$\mathcal{E}_{ind} = \int_0^l B \omega r dr = B \omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^l = \frac{B \omega l^2}{2}$

Эта ЭДС постоянна, так как $\omega$, $\text{B}$ и $\text{l}$ — константы.

Теперь выразим напряжение $\text{U}$ из закона Ома:

$U(t) = I(t)R + \mathcal{E}_{ind}$

Подставим найденные выражения для $I(t)$ и $\mathcal{E}_{ind}$:

$U(t) = \left( \frac{mg}{Bl} \sin(\omega t) \right) R + \frac{B \omega l^2}{2}$

Это и есть искомый закон изменения напряжения.

Ответ: Напряжение должно изменяться по закону $U(t) = \frac{mgR}{Bl}\sin(\omega t) + \frac{B \omega l^2}{2}$.