Номер 16.30, страница 103 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 16. Электромагнитная индукция - номер 16.30, страница 103.

Условие.

16.30**. Индукция однородного магнитного поля в цилиндрическом сердечнике радиусом $\text{r}$ (см. рисунок) возрастает со временем по закону $B = kt$. Проволочное кольцо радиусом $\text{2r}$ имеет общую с сердечником ось. Какова разность потенциалов между точками $\text{A}$ и $\text{B}$? Какое напряжение покажет вольтметр, подключенный к точкам $\text{A}$ и $\text{B}$? Сопротивление вольтметра велико по сравнению с сопротивлением кольца.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус цилиндрического сердечника: $r_c = r$

Закон изменения индукции магнитного поля: $B(t) = kt$

Радиус проволочного кольца: $R_k = 2r$

Сопротивление вольтметра $R_V$ велико по сравнению с сопротивлением кольца $R_{кольца}$.

Найти:

1. Разность потенциалов между точками А и В: $\varphi_A - \varphi_B$

2. Напряжение, которое покажет вольтметр, подключенный к точкам А и В: $U_V$

Решение:

Изменение магнитного поля во времени создает вихревое электрическое поле, которое приводит к возникновению ЭДС индукции в проволочном кольце.

1. Найдем ЭДС индукции $\mathcal{E}$ во всем кольце. Магнитный поток $\Phi$ создается полем только внутри сердечника радиусом $\text{r}$. Площадь сердечника $S = \pi r^2$.

$\Phi(t) = B(t) \cdot S = kt \cdot \pi r^2$

Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС в кольце равна:

$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d(kt\pi r^2)}{dt} = -k\pi r^2$

Модуль ЭДС индукции равен $|\mathcal{E}| = k\pi r^2$. По правилу Ленца, так как магнитный поток в плоскость рисунка возрастает, индукционный ток (и вихревое электрическое поле) будет направлен против часовой стрелки.

Так как кольцо замкнуто, по нему потечет индукционный ток $\text{I}$. Если $\text{R}$ - полное сопротивление кольца, то по закону Ома для полной цепи:

$I = \frac{|\mathcal{E}|}{R} = \frac{k\pi r^2}{R}$

1. Какова разность потенциалов между точками А и В?

Рассмотрим участок кольца – короткую дугу АВ. Разность потенциалов между точками А и В определяется только консервативной (электростатической) частью электрического поля. Связь между разностью потенциалов, ЭДС на участке и током дается обобщенным законом Ома для участка цепи.

Двигаясь от точки А к точке В по короткой дуге (против часовой стрелки):

$\varphi_A - \varphi_B = I R_{AB} - \mathcal{E}_{AB}$

где $R_{AB}$ – сопротивление дуги АВ, а $\mathcal{E}_{AB}$ – ЭДС индукции на этой дуге.

ЭДС индукции распределена равномерно по длине кольца, так как вихревое электрическое поле симметрично. Длина короткой дуги АВ составляет 1/4 от всей длины кольца. Следовательно, ЭДС и сопротивление на этом участке также составляют 1/4 от полных значений:

$\mathcal{E}_{AB} = \frac{1}{4}|\mathcal{E}| = \frac{k\pi r^2}{4}$

$R_{AB} = \frac{1}{4}R$

Подставим эти значения и значение тока $\text{I}$ в формулу для разности потенциалов:

$\varphi_A - \varphi_B = \left(\frac{k\pi r^2}{R}\right) \left(\frac{R}{4}\right) - \frac{k\pi r^2}{4} = \frac{k\pi r^2}{4} - \frac{k\pi r^2}{4} = 0$

Таким образом, электростатическая разность потенциалов между любыми двумя точками на замкнутом кольце с постоянным индуцированным током равна нулю.

Ответ: Разность потенциалов между точками А и В равна 0.

2. Какое напряжение покажет вольтметр, подключенный к точкам А и В?

Показания вольтметра в цепи с ЭДС индукции зависят от расположения его проводов, так как они могут охватывать изменяющийся магнитный поток. Вольтметр измеряет не разность потенциалов, а циркуляцию полного электрического поля $\vec{E} = \vec{E}_{конс} + \vec{E}_{вихр}$ вдоль своего контура.

$U_V = \int_A^B (\text{через вольтметр}) \vec{E} \cdot d\vec{l}$

Рассмотрим замкнутый контур, состоящий из вольтметра и короткой дуги АВ. Применим к этому контуру закон Фарадея:

$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = \int_A^B (\text{через вольтметр}) \vec{E} \cdot d\vec{l} + \int_B^A (\text{по дуге}) \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi_{контур}}{dt}$

Первый интеграл – это показание вольтметра $U_V$. Второй интеграл – это напряжение на дуге АВ, взятое в обратном направлении. Напряжение на дуге АВ равно $U_{AB} = \int_A^B (\text{по дуге}) \vec{E} \cdot d\vec{l} = I R_{AB} = \frac{k\pi r^2}{4}$.

Уравнение принимает вид:

$U_V - U_{AB} = -\frac{d\Phi_{контур}}{dt}$

В стандартной постановке задачи предполагается, что измерительные провода вольтметра располагаются так, что контур "вольтметр-дуга" не пронизывается изменяющимся магнитным потоком, то есть $\frac{d\Phi_{контур}}{dt} = 0$.

В этом случае показания вольтметра равны напряжению на участке АВ:

$U_V = U_{AB} = I R_{AB}$

Подставим значения тока $\text{I}$ и сопротивления $R_{AB}$:

$U_V = \left(\frac{k\pi r^2}{R}\right) \left(\frac{R}{4}\right) = \frac{k\pi r^2}{4}$

Этот же результат можно получить иначе. Показание идеального вольтметра ($R_V \to \infty$) равно ЭДС индукции в том участке цепи, к которому он подключен (при условии, что сам вольтметр с проводами не охватывает магнитный поток). ЭДС индукции на дуге АВ составляет четверть от полной ЭДС:

$\mathcal{E}_{AB} = \frac{1}{4}|\mathcal{E}| = \frac{k\pi r^2}{4}$

Следовательно, $U_V = \mathcal{E}_{AB} = \frac{k\pi r^2}{4}$.

Ответ: Вольтметр покажет напряжение $U_V = \frac{k\pi r^2}{4}$.