Номер 16.28, страница 103 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 16. Электромагнитная индукция - номер 16.28, страница 103.

Условие.

16.28**. Опишите движение сверхпроводящих колец (см. задачу 16.27), если в начальный момент токи в кольцах одинаково направлены, но заметно различаются по величине.

Решение.

Решение 2.

Рассмотрим систему из двух сверхпроводящих колец. Пусть кольца соосны и могут свободно перемещаться вдоль общей оси. В начальный момент времени в кольцах текут токи $I_1$ и $I_2$, направленные в одну сторону. По условию, токи заметно различаются по величине, пусть для определённости $I_1 > I_2$.

1. Начальное взаимодействие

Поскольку токи в кольцах в начальный момент сонаправлены, согласно закону Ампера, кольца притягиваются друг к другу. Если они изначально покоились, то под действием этой силы они начнут сближаться.

2. Сохранение магнитного потока и изменение токов

Ключевой особенностью сверхпроводящих колец является то, что магнитный поток, пронизывающий каждое кольцо, остается постоянным во времени. Полный магнитный поток через каждое кольцо складывается из потока, создаваемого собственным током (самоиндукция), и потока, создаваемого током в другом кольце (взаимная индукция).

Обозначим индуктивности колец как $L_1$ и $L_2$, а их взаимную индуктивность как $\text{M}$. Взаимная индуктивность $\text{M}$ зависит от расстояния $\text{x}$ между кольцами: при сближении колец $\text{M}$ увеличивается. Условия сохранения потока для каждого кольца записываются в виде системы уравнений:

$\Phi_1 = L_1 i_1(t) + M(x(t)) i_2(t) = \text{const}_1$

$\Phi_2 = L_2 i_2(t) + M(x(t)) i_1(t) = \text{const}_2$

где $i_1(t)$ и $i_2(t)$ — токи в кольцах в момент времени $\text{t}$.

Когда кольца сближаются, $M(x)$ растет. Чтобы потоки $\Phi_1$ и $\Phi_2$ оставались постоянными, токи $i_1$ и $i_2$ должны изменяться. Анализ системы уравнений (для простоты можно считать кольца одинаковыми, $L_1 = L_2 = L$) показывает, что ток в кольце с изначально меньшим током ($I_2$) будет уменьшаться. При некотором критическом расстоянии $x_{crit}$ (когда взаимная индуктивность достигнет значения $M_{crit}$) этот ток обратится в нуль, а при дальнейшем сближении изменит свое направление на противоположное. Ток в другом кольце ($I_1$) также будет изменяться, но, поскольку он изначально был больше, он не изменит своего направления.

3. Изменение силы взаимодействия

Сила взаимодействия между кольцами пропорциональна произведению токов в них: $F \propto i_1 i_2$.

• Пока кольца находятся на расстоянии $x > x_{crit}$, оба тока $i_1$ и $i_2$ сонаправлены ($i_1 i_2 > 0$), и сила между кольцами является силой притяжения.

• В точке $x = x_{crit}$ ток $i_2$ обращается в нуль, и сила взаимодействия также становится равной нулю. Эта точка является положением равновесия.

• При дальнейшем сближении ($x < x_{crit}$) ток $i_2$ меняет направление, токи становятся направленными в противоположные стороны ($i_1 i_2 < 0$), и сила взаимодействия становится силой отталкивания.

Поскольку при отклонении от положения $x_{crit}$ в любую сторону возникает сила, возвращающая систему к этому положению, равновесие является устойчивым.

4. Описание движения

Начав движение из состояния покоя под действием силы притяжения, кольца будут ускоряться, пролетят положение устойчивого равновесия $x_{crit}$ по инерции. После этого между ними начнет действовать возрастающая сила отталкивания, которая будет их тормозить. Кольца остановятся на некотором минимальном расстоянии $x_{min}$, а затем начнут двигаться в обратном направлении под действием силы отталкивания. Они снова пройдут положение равновесия $x_{crit}$, после чего сила взаимодействия вновь станет силой притяжения. Эта сила будет тормозить их удаление друг от друга, и они остановятся, достигнув исходного расстояния (согласно закону сохранения энергии).

Таким образом, движение колец будет представлять собой периодические колебания вокруг положения устойчивого равновесия $x_{crit}$.

Ответ: Изначально кольца будут притягиваться и начнут сближаться. По мере сближения ток в кольце с меньшим начальным током будет уменьшаться, при достижении некоторого расстояния обратится в нуль, а затем изменит направление на противоположное. Вследствие этого сила взаимодействия между кольцами сменится с притяжения на отталкивание. В результате кольца будут совершать периодические колебания вокруг положения устойчивого равновесия, где сила взаимодействия равна нулю.